Tip:
Highlight text to annotate it
X
Haydi hızla büyüme ve azalma hakkında
birkaç problem yapalım.
İlk problem için, bir radyoaktif maddenin saatte
%3.5 oranında azaldığını varsayalım.
Maddenin 6 saat sonra yüzde kaçı kalır?
Buraya bir tablo yapalım, ne olup bittiğini
görmek için.
Şimdi n saat sonra ne kadar madde kaldığını görmek için
bir formül yazmaya çalışalım.
Buraya geçen saati,
buraya da maddenin
yüzde kaçının kaldığını yazalım.
0 saat sonra maddenin yüzde kaçı kalır?
Henüz azalmadığını görürüz, yani maddenin %100'ü hala elimizdedir.
1 saat sonra ne olur?
Maddenin oranı saatte %3.5 azalır.
Yani maddenin %3.5'i gider.
Başka bir yoldan düşünürsek bu 0.965'e denk gelir.
Hatırlayın, eğer 1'den ya %3.5'i ya da %100'den %3.5'i çıkarırsak
-%3.5 bize saatte ne kadar madde kaybettiğimizi gösterir-
%96.5 sonucuna varırız.
Yani her saat, bir önceki saatteki maddenin
%96.5'ine sahip oluruz.
İlk saatte, başlamadığımız zamandaki maddenin %96.5 ini
ya da 0.965'in 100 ile çarpılmış halini alırız.
Peki 2 saat sonra?
Şimdi bir önceki saatte sahip olduğumuz maddenin %96.5'ini alalım.
Yine maddenin %3.5'ini kaybetmiş olacağız. Bu da bir önceki saatteki sahip olduğumuz maddenin
şimdi %96.5'ine sahip olacağımızı gösterir.
Yani 0.965'i 0.965 ile, sonra da 100 ile çarpacağız.
Bu işlemin genel olarak nasıl yürüdüğünü anladığınızı düşünüyorum.
İlk saatte 0.965'in birinci kuvvetini
100 ile çarparız
Başlamadan önce, yani sıfırıncı saatte, 0.965'in sıfırıncı kuvvetini 100 ile çarparız.
Görmüyoruz fakat burada gizli bir 1 var, bunu da 100 ile çarparız.
İkinci saatte 0.965'in ikinci kuvvetini 100 ile çarparız.
Genel bir formül yazarsak--bunu koyu bir
renkle yazayım--n'inci saatte
0.965'in n'inci kuvvetinin 100 ile çarpımı,
bize n saat sonra ne kadar radyoaktif madde kaldığını gösterir.
Bazen bunun böyle yazıldığını görürsünüz.
Ortak oranın--.0965'in-- n'inci kuvvetini alıp
başlangıçta sahip olduğumuz maddeyle--100 ile-- çarparız.
Bu bize n saat sonra ne kadar maddenin kaldığını gösterir.
Şimdi soruyu cevaplayabiliriz.
6 saat sonra elimizde ne kadar madde kalır?
Şimdi, 100'ü 0.965'in
altıncı kuvvetiyle çarpacağız.
Bunu hesaplamak için bir hesap makinesi kullanabiliriz.
Haydi güvenilir hesap makinemizi kullanalım.
100'ü 0.965'in altıncı kuvveti ile çarptığımızda,
80.75'e eşit olduğunu görürüz.
Bu yüzdelik hesaptır.
Yani maddemizin %80.75'i
elimizdedir.
Bir tane daha örnek yapalım.
Nadia, 1999'da 200 tane restoranı olan
bir fast food zincirine sahip olsun.
Artış oranı--burada bir yazım hatası var,
%8 olmalı-- yıllık artış oranı %8 olsun.
2007'de kaç tane
restorana sahip olur?
Yine aynı şeyi düşünelim.
1999'dan sonraki yılları ele alalım.
Nadia'nın 1999'da kaç tane fast food
restoranına sahip olduğundan bahsedelim.
1999 yılı, 1999 yılından 0 yıl sonradır.
Hala 200 tane restoranı var.
1999'dan bir yıl sonra, 2000'de kaç tane
restorana sahip olacak?
Nadia, her yıl büyüme oranını %8 artırıyor.
Yani önceki sahip olduğu restoranları hala devam ettiriyor olacak,
biz bu sayıya bir de önceki sahip olduğu restoran sayısının %8'ini ekleyeceğiz.
Bu sayıyı daha önce sahip olduğu restoran sayısını 1.08 ile çarparak bulacağız.
Göreceksiniz ki, burada ortak oran 1.08 olacak.
%8 oranında büyüyorsanız bu
1.08'e denk gelir.
Bunu daha net açıklamama izin verin.
200'ü 0.08'in 200 ile çarpımıyla toplayalım.
Burada gizli bir 1 var. 1 çarpı 200 artı 0.8 çarpı 200.
Bu da 1.08'in 200 ile çarpımına eşit olur.
Peki 2001'de ne olur?
1999'dan iki sene sonra--2001'de--2000'de sahip olduğu
restoran sayısının %8 daha fazlasına sahip olur.
Yani, 1.08'i 2000'de sahip olduğu restoran sayısıyla çarpacaksınız.
1.08 çarpı 1.08 çarpı 200.
Sanırım konunun temelini anladınız. 1999'dan n yıl sonra
sahip olacağı restoran sayısı, 1.08 çarpı--başka bir şekilde yazalım--
200 ile 1.08'in n'inci kuvvetinin çarpımına eşittir.
1999'dan 2 yıl sonra, 1.08'in karesini alırız.
1999'dan 1 yıl sonra, 1.08'in birinci kuvvetini alırız.
0 yıl sonra--1999'da-- 1.08'in sıfırıncı kuvvetini alıp
200 ile çarparız.
Soruda 2007 yılında kaç tane
restorana sahip olacağını soruyor.
2007, 1999 yılından 8 yıl sonradır.
O zaman n, 8'e eşit olacak.
Şimdi n yerine 8 yazalım.
Sorumuzun cevabını 200'ü
1.08'in 8 kuvveti ile çarparak bulacağız.
Hesap makinemizi alalım ve hesaplayalım.
200 çarpı 1.08'in
sekizinci kuvvetini öğrenmek istiyoruz.
2007'de 370 tane restorana sahip olacak ve
başka restoranlar da açma halinde olacak.
Bu sayıyı yuvarlarsak, Nadia 370 tane restorana
sahip olacak.
%8'lik artış çok hızlı bir artış gibi
gözükmeyebilir.
Fakat 8 yıl içinde restoran sayısını
200'den 370'e çıkaracak.
Yani 8 yıl içerisinde, %8'lik artışın
ne kadar çarpıcı olduğunu görebilirsiniz.