Tip:
Highlight text to annotate it
X
.
Bakalım kısmi kesirleri ayırma konusuna bir iki şey öğrenebilecek miyiz.
Bazen kısmi kesirleri ayrıştırma da deniyor.
.
.
Ana fikir rasyonel fonksiyonları alıp -rasyonel fonksiyon bir fonksiyonun ya da ifadenin bir diğerine bölünmesidir- açmak ya da daha basit bölümlere ayırmaktır.
.
.
.
Buna başlamadan önce yapmanız gereken ilk şey payın paydadan daha küçük bir denklem derecesine sahip olduğundan emin olmaktır.
.
.
.
Buraya yazdığım soruda konu bu değil.
.
Pay ve oaydanın denklem dereceleri birbirine eşit.
O zaman yapacağımız ilk şey birkaç cebisel bölme işlemi ile bu ifadeyi sadeleştirip payın denklem derecesini paydanınkinden daha küçük bir hale getirmek.
.
.
.
Bunun hakkında bir video yapmıştım ama tekrar etmekten zarar gelmez.
.
Bunun yaparken kalanı bulmak için payı paydaya bölüyoruz.
x^2-3x-40 ifadesini x^2-2x-37 ifadesine bölüyoruz.
Kaç kere vardır?
En yüksek denklem derecesine bakıyoruz.
O zaman x^2'de x^2 bir kere vardır.
1 çarpı tüm bu ifade x^2-3x-40 eder.
Şimdi kalanı bulmak için bunu bundan çıkarıyoruz.
Çıkartma yapacağım o zaman eksi, eksi artı eder.
Şimdi toplayabiliriz.
Bu ikisi birbirini götürür.
-2x+3x=x
-37+40=+3
O zaman bu ifade 1+[(x+3)/x^2-3x-40] olarak yeniden yazılabilir.
.
.
Bu yaptığım sihir gibi görünebilir ama aslında dördüncü, beşinci sınıfta öğrendiğiniz bileşik kesirleri karma kesirlere çevirmekten bir farkı yok.
.
.
.
Şurada küçük bir örnek vereyim.
Elimde 13/2 varsa ve bunu karma kesire çevirmek istersem yapacağım şey, -muhtemelen bunu artık kafanızdan yapıyorsunuzdur- yapacağım şey aynı burada olduğu gibi payı paydaya bölmektir.
.
.
.
.
13'te 2 6 defa var. 6x2=12
Bunu bundan çıkarıyoruz, kalan 1 oluyor.
1'de 2 yoktur o zaman bu kalandır.
Eğer bunu yeniden yazmak istersem payda paydanının olduğu sayı kadar, burada 6, artı kalan üzeri payda olarak yazarım.
.
.
6+(1/2)
İlkokulda sadece 6x(1/2) yazardınız ama bu 6+(1/2) ile aynı şeydir.
.
Burada yaptığımız da bunun aynısı.
Payın içinde payda bir defa var ve de kalanımız x+3.
.
O zaman 1+(x+3) üzeri bu ifade.
Şimdi görüyoruz ki payın derece denklemi paydanınkinden küçük.
.
Buradaki en büyük derece 1, buradaki ise 2.
O zaman kısmi kesirlere ayrımaya başlayabiliriz.
Bu tamamen buradaki ifadeyi alıp paydaların bu küçük dereceli ifadenin çarpanı olduğu daha basit ifadelere dönüştürerek
.
.
Buna bakarak bu küçük dereceli denklemi çarpanlarına ayıralım.
Bakalım.
Hangi iki sayıyı toplarsak -3, çarparsak -40 elde ederiz?
.
Bakalım.
Farklı işaretleri olması gerekiyor çünkü çarpımları negatif.
O zaman -8 ve +5 olmalılar.
.
O zaman bunu 1+[(x+3)/x+5x-8) olarak yeniden yazabiliriz.
.
5x(-8)=(-40)
+5(-8)=(-3)
Şimdi bu kısma odaklanacağım.
1'in burada olduğunu hatırlayalım.
.
Açmak ya da ayırmak istediğimiz ifade bu.
Bunu iki kısıma ayıracağız.
Ve bir iddiada bulunacağım.
Eğer sayılar işe yararsa iddiam doğru demektir.
Bunu iki kesir olarak açtığımda ilk kesrin A sayısı üzeri ilk çarpan üzeri (x+5), artı B sayısı üzeri ikinci çarpan üzeri (x-8) olduğunu iddia ediyorum.
.
.
.
Bu benim iddiam ve eğer A ve B sayılarının buna eşit olacağı şekilde çözebilirsem bu ifadeyi tamamen ayrıştırmış olacağım.
.
.
Doğru terminoloji bu mu bilmiyorum.
.
Bunu yapmayı deneyelim.
Bu iki ifadeyi eklersem ne elde ederim?
İki sayıyı topladığınızda ortak paydayı alırsınız ve en kolay ortak payda paydalar çarpılarak bulunur. Şuraya yazayım.
.
.
A/(x+5) + B/(x-8) eşittir- ortak paydayı alalım- eşittir x+5x-8
.
.
A/(x+5) ifadesi A(x-8) üzeri tüm bu ifadeye eşittir.
.
Eğer bunu buraya yazsaydım bu ikisi birbirini götürüt ve elimizde x+5 kalır.
.
Sonra ortak paydaya ekleyebilirsiniz.
5(x-8) ve B(x+5)
Bunu fark etmeniz önemli, bakın.
Eğer (x-8)'i çıkarırsanız bu terim bu terime eşittir.
.
Eğer (x+5)'i çıkarırsanız bu terim, bu terime eşittir.
Şimdi bir ortak paydamız olduğuna göre bu ları toplayabiliriz.
Sol tarafa yazayım.
.
Pardon, buraya yazmak istiyorum.
(x+3)/(5x-8) yukarıdaki bu iki şeyin toplamına eşittir.
.
A(x-8) + B(x+5) üzeri ortak paydaları yani x+5x-8.
.
Paydaları eşit olduğuna göre bunları topladığımızda bunu elde ediyoruz.
.
Eğer A ve B'yi bulmak istiyorsak eşitliği yazalım.
.
Paydayı yoksayabiliriz.
(x+3)=A(x-8)+B(x+5)
.
Bu noktadan itibaren A ve B'yi çözmek için iki yolumuz var.
.
Bir tanesi yedinci sekizinc, sınıfta öğrendiğiniz bir yol ama biraz uzun sürüyor.
Bir de kısa yolu var ki kısa yolu yapmaktan zarar gelmez.
.
.
A'yı bulmak istiyorsak bu terimi yok edecek x değerini bulalım.
.
Hangi x değeri bu terimi götürür?
Eğer x, -5 ise burası 0 olur ve B ortadan kalkar.
.
Eğer x=-5 dersek -denklemi çözebilmek için öylesine bir x seçiyorum- burası -5+3=A(-5-8) B(-5+5) olur.
.
.
.
.
Bu ifadeyi sıfır yapmak için -5 sayısını seçtim.
-2=(-13)A+0 değil mi?
.
.
Bu, 0.
-5+5=0, 0x0=0
İki tarafı da -13 ile bölüyoruz -eksiler birbirini götürüyor- elimizde 2/13 kalıyor.
.
Aynı şekilde x'i 8 alarak A teriminden kurtulabiliriz.
Eğer x=8 ise x+3=11
11=A(0) + B(13)
.
B, 13 gibi duruyor.
Ve 11=13B oluyor.
İki tarafı da 13 ile bölüyoruz ve B=11/13 oluyor.
Böylece A ve B'yi bulabiliyoruz.
En baştaki denklemimize dönüp "vay be" diyebiliriz.
.
Bu 2/13'e, bu da 11/13'e eşit olmalı.
.
.
En başta yazdığımız denklem burada yazdığımız 1 + (2/3)/(x+5) olarak ayrıştırılabilir.
.
.
.
13'ü buraya indirebilirsiniz böylece elinizde kesir üzeri kesir kalmaz.
.
(11/13)/(x-8)
Tekrar 13'ü buraya indirebilirsiniz böylece elinizde kesir üzeri kesir kalmaz.
.
Başarılı bir şekilde bu kesiri ayrıştırdık.
.
Kısaca basitleştirdik demek istemiyorum çünkü bu sefer burada sadece bir ifade vardı şimdi üç tane var ama hem payın hem paydanın derecesini küçültmüştüm diyebilirsiniz.
.
.
Bunu neden yapmamız gerekir ki diye düşüneilirsiniz.
.
Haklısınız da.
Cebirde muhtemelen yapmayacaksınız.
Ama aslında bu daha sonra kalkülüst ve difersiyal denklemlerde çok işe yarar bir teknik olacak çünkü çoğunlukla -bilmediğiniz bir laf edeceğim- bu ifadenin integralini ya da ters türevini almak bu ifadeninkini almaktan daha kolaydır.
.
.
.
.
.
Daha sonra ters Laprace dönüşümünü ve diferensiyal denklemleri yaptığınızda böyle bir şeyin ters Laprace dönüşümünü almak, böyle bir şeyinkini almaktan daha kolaydır.
.
.
.
.
Neyse, umarım alet çantanıza bir alet daha ekleyebilmişimdir.
Birkaç video daha hazırlayacağım çünkü henüz elimizdeki örneklerin hepsini çözmedik.
.
.
.