Tip:
Highlight text to annotate it
X
-
Lineer bağımsız ve bağımlı ve vektörler kümesi hakkında öğrendiğiniz her şeyi bir problem içinde bir araya getirmek istiyorum çünkü eğer bu problemin tümünü anlarsanız lineer cebir ve bu iki konsept hakkında her şeyi anlarsınız.
-
-
-
-
-
Üç boyutlu ve üç bileşenden oluşan S vektörler kümesi hakkında sorucağım ilk soru, s'nin yayılma alanının R3'e eşit olup olmadığıdır?
-
-
Öyle olucak gibi gözüküyor.
Eğer bunlardan her biri yeni bilgi veriyorsa, belkide R3 içindeki herhangi bir vektöru bu üç vektörden tanımlıyabilirim.
-
-
Sormak istediğim ikinci soru ise niye bunlar lineer olarak bağımsız?
-
Belki de iki sorumuda aynı anda cevaplayabileceğim.
Birincisini cevaplayalım.
R3'u kapsıyorlar mı?
R3'u kapsamak demek, bu üç vektörden oluşan lineer kombinasyonların bağzıları R3'deki herhangi bir vektörü oluşturabilmeliler.
-
Bu vektörlerin lineer kombinasyonlarını vereyim.
Örneğin elimde c1 kere birince vektör eşittir 1, eksi 1 eşittir 2 artı bir değişken değer c2, bir skaler, kere ikinci vektör eşittir 2 eşittir 1 eşittir 2 artı üçüncü ölçekleme vektörü kere üçüncü vektör eksi 1 eşittir 0 eşittir 2.
-
-
-
Değişken sabitler kullanarak, toplamları R3'deki herhangi bir vektörü oluşturan vektörlerin kombinasyonunu yapabilirim.
-
-
R3'deki vektörleri a vektörü, b vektörü ve c vektörü olarak göstericeğim. A, b ve c her hangi bir reel sayıyı temsil edecek.
-
Yani bana a, b ve c verirseniz, bende size sizin c3'lerinizi, c2'lerinizi ve c1'lerinizi söyleyen formulu verebilirim. Eğer bana herhangi bir vektör verirseniz, bende size o vektörü a,b ve c olarak nasıl yazıcağınızı gösterebilirim.
-
-
-
-
Bakalım onu yapabilecek miyim?
Bir vektörün skaler çarpımının tanımlanmasından biliyoruzki c1 kere bu vektörü tekrar yazabilirim.
-
-
Genelde bu basamağı geçerim ama açık hale getirmek istiyorum.
-
Yani c1 kereyi, 1 kere c diye de yazabilirim. Bu da her bir terim kere c1 demekdir.
.
Aynı şekilde, c2 kere bu demek c2 kere bu terimlerle aynı şey demektir.
-
Ayrıca c3 kere bu demek aynı şekilde her bir terim kere c3'dür.
-
Size vektör kere skaler çarpımı tanımımızdan formal olarak gelen her şeyi göstermek istiyorum. Bu da bizim zaten yaptığımız vektör toplamıdır ve şu anda onu yapıcağız.
-
-
-
Vektör toplamı bize bu terim artı bu terim artı bu terim eşittir şu terim demekdir.
-
Dediğimi yazıcağım.
Elimizde c1 artı 2c2 eksi c3 eşittir a var.
Aynı şekilde, bunu ikinci sırayada yapabiliriz.
Eksi c1 artı c2 artı 0c3 b'ye eşit olmalıdır.
Yani eksi c1 artı c2 artı 0c3 eşittir b.
-
Son olarak, aynı şeyi son sıraya yapalım.
2c1 artı 3c2 artı 2c3 c'ye eşit olucaktır.
Bakalım değişik sabitler için çözebilir miyiz.
Eliminasyon yöntemini kullanıcağım.
Büyük ihtimalle bu yöntemi biliyorsunuz.
-
-
-
-
-
İlk önce bu iki terimi daha sonra da bu terimi elimine ediceğim. Elimine ettikten sonrada değişik sabitlerim için çözebilirim.
-
-
Eğer bu terimi elimine etmek istiyorsam bu denklemi şu denkleme ekliyebilirim.
-
Daha iyisi, bu denklemi şu iki denklemin toplamıyla değiştirebilirim.
-
Şimdi onu yapıyorum.
Bu iki denklemi birbirine ekleyip bununla diğer toplamı tekrar yerleştirebilirim.
-
Yani eksi c1 artı c1 eşittir 0.
-
c2 artı 2c2 eşittir 3c2.
-
Sonra 0 artı c3 eşittir c3.
Eksi c3 eşittir- bunu şu ikisinin toplamı ile değiştiriyorum- b artı a.
-
B artı a'ya eşittir.
Yukarıdaki ilk denklemi yazıyorum.
Birinci denkleme hiç bir şey yapmıyorum.
Elimde c1 artı 2c2 eksi c3 eşittir a var.
Sonuncu denklemde bu terimi yok etmek istiyorum.
O yüzden bu denklemi alalım ve iki kez en üstteki denklemden çıkaralım.
-
-
-
-
Bunu eksi 2 ile çarpalım.
-
Bu da eksi 2c1 eksi 4c2 artı 2c3 eşittir eksi 2a.
-
-
-
-
Eksi iki kere c1 eksi 4 artı 2 ve sonra eksi 2.
Bu iki denklemi birbiri ile toplayalım.
-
Bu da 2c1 eksi 2c1 eşittir 0.
-
3c2 eksi 4c2 eşittir eksi c2.
-
2c3 artı 2c3 eşittir 4c3 eşittir c eşittir eksi 2a.
-
Bu sonuca varmak için yaptığım tek şey bunu eksi 2 ile çarpmak oldu.
-
-
Yukarıdaki denklemi tekrar sabit tutuyorum.
Denkleme hiç bir şey yapmıyacağım. Sadece sağa doğru oynatıcağım.
-
c1 artı 2c2 eksi c3 eşittir a.
İkinci denklemimi boyle bırakıcağım yani elimde 3c2 eksi c3 eşittir b artı a var.
-
-
Son denklemi elimine etmek istiyorum.
Amacım bu terimi elimine etmek.
Son denklemi 3 ile çarpıp orta denkleme ekliyip bu terimi elimine etmek istiyorum.
-
-
Eğer sondaki denklemi 3 ile çarparsam bu bana a eksi 3 artı 1 eşittir 3 verir ve bunlar birbirini götürür.
-
-
Bu 12 eksi 1.
Bu da 12c3 eksi c3, yani 11c3 olur.
-
3 kere bu artı şu işlemini yaparken bunlar birbirini götürüyor.
3 kere bunu çarpınca, 12c3 eksi a c3 eşittir 11c3.
c3 yani 11c3.
Sonra bu çarpı 3 arti bu eşttir 3c eksi 6a artı bu artı b artı a.
-
-
Bunu nasıl yazabilirim?
-
Bu c bu c1'lerden, c2'lerden ve c3'lerden farklı.
-
-
-
-
-
-
Bakalım bunu sadeleştirebilir miyiz.
Elimizde a eksi 6a var o yüzden toplayalım.
Elimizdeki a'dan kurtulalım ve bu da 5a'ya eşit.
Denklemin iki tarafınıda 11'le bölünce elimizde ne oluyor?
-
c3 eşittir 1/11 kere 3c eksi 5a.
Yani bana a veya c verirsen bende sana c3 ne söylerim.
-
c2 ne?
c2 buradaki denkleme eşit.
-
Burada dediğim şeyi yapıyım.
Yani denklemin her iki tarafınada c3'u eklersem elimde 3c2 eşittir b artı a artı c3 olur.
-
Eğer bu denklemin her iki tarafınıda 3'e bölürsem, elimde c2 eşittir 1/3 kere b artı a artı c3 olur.
-
Şimdilik böyle bırakıyım.
O zaman c1 neye eşit?
Yukarıdaki denklemi sanki denklemden 2c2 çıkarıp c3 eklemişim gibi yazabilirim. Elimde c1 eşittir 2c2 artı c3 kalır.
-
-
-
-
Bana R3'de bulmak istediğin her hangi bir vektor verebilirsin.
Yani bana a için, b için, ve c için herhangi bir reel sayı verebilirsin.
-
Bana o sayıları verirseniz bende size o sayılara eşit olan vektörlerin kombinasyonlarını verebilirim.
-
-
Aslında, bu üçüncü vektöre ulaşmak için bu vektörlerin her birini hangi sayılarla çarpıcağımı çözdüm.
-
-
Yani bana a'larını, b'lerini ve c'lerini verirsen bende onları buradaki a'ların, b'lerin ve c'lerin yerini koyabilirim.
-
-
-
Ayrıca bir b var.
-
-
O zaman bu 3c eksi 5a artı b.
-
Parentezin içinde de bir b var.
-
Bana a'larını, b'lerini ve c'leri verirsen, her hangi bir reel sayı geçerlidir.
-
-
-
-
-
Bana a'larını, b'lerini ve c'lerini verirsen bende sana c3 veririm.
-
Şimdi, bana a'lar, b'ler, ve c'ler verdin.
Elimizde bir c3 var.
-
Önceki a'larını ve b'lerini alıp sana c2 veriyorum.
-
c2 ve c3 için çözebildiğimizden sana c1 vericeğim.
-
-
-
-
-
-
-
-
Bu üç vektör R3'in yayılma alanında.
-
Sana bir soru daha sorucağım.
-
Bu vektörler lineer olarak bağımsız mı?
-
Bunların lineer olarak bağımsız olması için c1 kere birinci vektörüm eşittir 1 eksi 1 eşittir 2 artı c2 kere ikinci vektörüm eşittir 2 eşittir 1 eşittir 3 artı c3 kere üçüncü vektörüm eşittir eksi 1 eşittir 0 eşittir 2.
-
-
-
-
-
-
-
Eğer bunlar lineer olarak bağımlı ise cevap 0 olmamalı.
-
Bu sabitlerden en az bir tanesi 0 olmamalı.
-
Bu denklemleri her zaman 0 yapabilirsin fakat bunlardan bir tanesi lineer olarak bağımlı ise o zaman bu denklemlerden bir tanesi 0 olmamalı.
-
-
Eğer hepsi lineer olarak bağımsız ise o zaman bütün bunların cevabı c1, c2 veya c3 olamalı.
-
-
Hepsi 0'a eşit olmalı. c1, c2 ve c3'ün hepsi 0'a eşit olmalı.
-
-
-
Aynı şeyi yapıcağım ama bu kez a'lar, b'ler ve c'ler 0 olucak.
-
Bu bir a, bu bir b, ve bu bir c, değil mi?
-
-
-
a eşittir b eşittir c eşittir 0.
Bunları 0 vektörüne eşitliyorum.
-
-
a, b ve c eşittir 0.
-
1/11 kere 0 eksi 0 artı 0.
Sadece 0.
Yani c3 sıfıra eşittir.
Eğer c3 eşittir 0 ise, a'nın 0'a eşit olduğunu ve b'nin de 0'a eşit olduğunu biliyoruz.
-
c2 1/3 kere 0 eşittir 0.
Şimdi c1 ne?
c3, yani 0.
c2 0, yani 2 kere 0 0.
Yani c1 sadece a'ya eşit.
Az önce a eşittir 0 dedim.
-
-
-
Yani c1, c2 ve c3 hepsi 0'a eşit.
0 olduklarını bildiğimizden bunun lineer bağımsız olduğunu biliyoruz.
-
-
-
-
-
R3 kapsayan üç tane vektörüm var ve üçüde lineer olarak bağımsız.
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
Umarım, bu video size yardımcı olmuştur.
-