Tip:
Highlight text to annotate it
X
Sandviç Teoremi'ni iyice anladığımıza göre,
bu teoremi kullanarak şunu kanıtlayacağız...
Sarı renkle yazayım. Fonksiyon şu: iks, sıfıra yaklaşırken,
"sinüs iks, bölü iks"in limiti, eşittir 1.
Aklınızdan bir sürü tahmin geçmeye başlamıştır.
Bu anı o kadar çok yaşadım ki.
Hadi bakalım, başlayalım.
Soruda trigonometri var. Görsel bir kanıt yapacağız.
"Birim çember"in birinci ve dördüncü bölgesini
çizeyim.
Mor renkte olsun.
Bakalım, seçebilirsem.
Epey de büyük çizeyim.
Nereye çizsem?
Epey büyük çizmeliyim.
Başlayayım bakalım.
-
Yeterince iyi.
Şimdi de eksenleri çizeyim.
Burası, "iks ekseni".
Özür dilerim, burası "ye ekseni".
-
İşte oldu.
Bu da "iks ekseni".
Alın size "birim çember".
-
Tamamdır.
Geri kalanları da çizeyim.
Öncelikle... Yarıçap çizeceğim ama çemberin
dışına çıkacağım.
-
Buraya kadar gelse yeter.
Soruyu oluşturmak için birkaç şey daha lazım.
Hayır, bu olmadı.
Tam bu noktada olmalı.
İşte böyle.
Sonra bu noktadan da şöyle bir şey yapıyorum.
-
Sonra o noktadan bir tane daha.
Aynen bu şekilde.
Şimdi hazırız.
Ne diyordum?
Bu, "birim çember", değil mi?
Peki, "birim çember" ise, nasıl bir çemberdir?
Yarıçapı 1 olan çemberdir.
Bu nokta ile bu nokta arasındaki uzaklık 1'dir.
Bu açı, radyan cinsinden iks ise, bu doğru parçasının
uzunluğu ne olur?
Bu doğru parçasının uzunluğu nedir?
Tanım gereği, birim çember üzerindeki her noktada,
"ye ekseni", "sinüs iks"tir.
O hâlde, burası "sinüs iks"tir.
Burası "sinüs iks"tir.
Yer kalmadı. Ok çekip yazayım.
Burası "sinüs iks"tir.
-
Biraz daha zor bir soru sorayım?
BU doğru parçasının uzunluğu nedir?
BUNUN uzunluğu nedir?
Düşünelim.
Tanjant nedir?
Tanjantın tanımına dair bilgilerinizi hatırlayın.
Neydi?
Tanjant neye eşittir? Karşı bölü komşu.
Peki, iks'in tanjantı nedir?
iks'in tanjantı.
Nasıl bulacağız? Üçgen olarak
bu üçgeni alırsak, tanjant ne olur?
Bu uzunluk, yani "karşı", sonra da bölü komşu.
Bu doğru parçasına bir ad verelim.
"O" olsun.
Peki, komşu uzunluk nedir?
Büyük üçgenin bu taban uzunluğu kaçtır?
Bu, "birim çember"di, değil mi?
Yani, burasıyla burası arasındaki uzunluk da
1 olmalı.
Burası, çemberin yarıçapı.
1'e eşit.
Karşı bölü komşu, tanjant iks'e eşittir.
Komşu 1 olduğuna göre,
karşı uzunluk, yani burası,
tanjant iks'e eşit olmalı.
Bir diğer deyişle, tanjant iks, bu kenar bölü 1'dir.
Yani, tanjant iks, bu kenara eşittir.
Bunu yazayım.
Bu kenar, tanjant iks'e eşit.
Tanjant iks.
Şimdi de, bu çizdiğim şeklin bazı bölümlerinin
alanları üzerinden düşünelim.
Biraz daha büyük çizseydim belki daha iyi olurmuş
ama yine de işimizi görür.
Öncelikle, daha küçük bir üçgen seçelim.
Üçgenimiz şu olsun.
Yeşil renkle göstereceğim.
Yeşil renkle gösterdiğim bu üçgenin
alanı nedir?
"Taban çarpı yükseklik"in yarısıdır.
Yani, 1 bölü 2, çarpı taban, yani 1...
-
Bu üçgeni düşünüyoruz.
Peki, yükseklik nedir?
Az önce bulmuştuk. Bu yükseklik neydi?
sinüs iks'ti.
Çarpı sinüs iks.
-
Bu yeşil üçgenin alanını yazdım.
Peki, şunun alanı... Yeşil üçgenin değil.
Onu da başka renkle göstereyim.
Onu da... Onu da kırmızıyla göstereyim.
Bu dilimin alanı nedir?
Bu dilimin.
İşte bunun.
Umarım görünüyordur. Rengi pek de farklı olmadı.
İşte bu dilimin.
Bu çizdiğim.
Yayı kapsıyor.
Az önceki üçgenden biraz daha
büyük.
Her zaman biraz daha büyüktür çünkü
üçgenle yay arasındaki bu küçük alanı da kapsar.
Peki, buranın alanı nedir?
-
Bu açı, radyan cinsinden iks'e eşit ise,
"birim çember"e oranı nedir?
Birim çember, "2 pi radyan"dır, değil mi?
Peki, bu alan neye eşit olur?
Şuna eşit olur: radyan cinsinden iks açısı, bölü,
radyan cinsinden "birim çember".
iks bölü "2 pi",
yani "birim çember"in tamamı.
Bu da şu demek oluyor...
Derece cinsinden yapsaydık, bu dilimin açısı,
bölü 360 derece diyecektik. Bu oran, çarpı, dairenin toplam alanı.
Bu oran, dairenin kaçta kaçı olduğunu söylüyor.
Onu da, dairenin toplam alanıyla
çarpıyoruz.
Peki, dairenin toplam alanı nedir?
Alan; "pi re kare"dir. Yarıçap, 1 olduğuna göre,
dairenin toplam alanı pi'dir.
-
"pi re kare". re, 1 olduğundan, dairenin alanı budur.
O hâlde, bu dilimin alanı neye eşit olur?
pi'ler sadeleşir. "iks bölü 2".
İlk bulduğumuz küçük üçgenin, yeşil üçgenin alanı
"1 bölü 2" sinüs iks'ti.
Yeşil üçgenin alanı buydu.
Ondan biraz daha büyük olan bu dilimin alanı da,
"iks bölü 2"dir.
Şimdi de büyük üçgenin alanını bulalım.
Bu büyük üçgenin.
En kolayı da bu olacak.
"1 bölü 2", çarpı taban, çarpı yükseklik.
Yani, "1 bölü 2", çarpı... Bunun tabanı da 1. Çarpı,
yükseklik, yani tanjant iks.
Eşittir; "1 bölü 2" tanjant iks.
Şekle baktığınızda göreceğiniz üzere, hipotenüsü
nasıl çizersem çizeyim, yeşil üçgenin alanı
bu dilimin alanından; dilimin alanı da
büyük üçgenin alanından azdır, değil mi?
-
Şimdi, bunu ifade eden bir eşitsizlik yazalım.
Yeşil üçgenin alanı, yani "1 bölü 2" çarpı
sinüs iks. Yeşil üçgenin alanı budur.
Küçüktür; bu dilimin alanından,
yani, "iks bölü 2"den.
Her ikisi de, bu büyük üçgenin alanından
küçüktür.
O da, "1 bölü 2" çarpı tanjant iks'tir.
-
Peki, bu ne zaman geçerlidir?
Birinci bölgede olduğumuz sürece geçerlidir.
Birinci bölgede geçerlidir.
Dördüncü bölgede de eşittir diyebiliriz aslında.
Ama o zaman sinüs iks, eksi olur;
tanjant iks, eksi olur. iks açısı da eksi olur.
Tabii tüm ifadenin mutlak değerini alırsak,
dördüncü bölgede de geçerli olur.
Eşitlikte eksi varsa ve siz mutlak değerini alıyorsanız,
uzaklık dikkate alınacağı için
her zaman artı değere ulaşırız.
Amacım; iks, sıfıra yaklaşırkenki limit değerini bulmak olduğuna göre,
bu limitin her zaman doğru olabilmesi için,
hem artı hem de eksi yönden yaklaşırken
doğru olması gerekir.
Şimdi her iki yanın mutlak değerini alalım.
Umarım anlattıklarımı anlamışsınızdır.
Buraya da bir hipotenüs çizseydim,
yine sinüs iks olacaktı, tanjant iks olacaktı.
Mutlak değerini aldığımızda da, birinci bölgedeki ifadenin
aynını elde edecektik.
Şimdi, tüm ifadenin mutlak değerini alalım.
Aslında hiçbir şey değişmeyecek, tabii
birinci bölgedeyseniz.
Biraz düşünürseniz, ikinci bölgede de
bir şey değişmeyeceğini görebilirsiniz.
Eşitsizliğimiz bu.
Bakalım, buradan bir şey çıkacak mı?
İlk olarak, hepsini 2 ile çarpıp
"1 bölü 2"lerden kurtulalım.
Ne oldu? Mutlak değer sinüs iks, küçüktür,
mutlak değer iks, küçüktür, mutlak değer
tanjant iks.
Umarım, mutlak değerlerini alarak aklınızı karıştırmamışımdır.
Eşitsizliğin ilk hâli, birinci bölge için geçerlidir.
Ama ben bu eşitsizliğin hem birinci hem de
dördüncü bölgede geçerli olmasını istediğim için;
limiti, iks, sıfıra her iki yandan da yaklaşırken aldığım için,
mutlak değere başvurdum.
Dördüncü bölgede bir hipotenüs çizip, birinci bölgede
yaptığımız her şeyi orada da yapabilirdik.
Ama mutlak değerini alınca aynı kapıya çıktı.
Neyse, soruya dönelim.
Eşitsizliğimiz bu.
Yer kalmadı. Bu yüzden, yazdığım bazı şeyleri
siliyorum.
-
Sil.
Sil.
-
Hayır, silmiyor.
Pekâlâ,
şimdi silecek.
Tamamdır.
Geliş yolundaki her şeyi silebiliriz
ama bunu unutmayalım, bu kalsın.
Epey yerimiz oldu.
Tamamdır.
Şimdi bu ifadeyi alalım
ve tüm bölümlerini...
Üç bölüm. Sol,
orta ve sağ.
Hepsini "mutlak değer sinüs iks"e bölelim.
"Mutlak değer sinüs iks", sıfırdan büyük olduğu için
"küçük" işareti değişmez,
değil mi?
Bölelim bakalım.
"Mutlak değer sinüs iks", bölü,
"mutlak değer sinüs iks", 1'e eşittir.
-
Küçüktür; "mutlak değer iks", bölü,
"mutlak değer sinüs iks".
-
Küçüktür... Tanjant iks'in mutlak değeri...
Hepsinin payda'sına "mutlak değer sinüs iks" yazalım.
"Mutlak değer sinüs iks", "mutlak değer sinüs iks", "mutlak değer sinüs iks".
Peki, "mutlak değer tanjant iks", bölü,
"mutlak değer sinüs iks" nedir?
Tanjant; "sinüs bölü kosinüs"tür.
Eşittir... Şuraya yazayım.
Sinüs bölü kosinüs, bölü, sinüs.
Mutlak değerini alınca da aynı şey olduğunu
biliyorsunuz.
Mutlak değerli ifade, bölü, mutlak değerli ifade.
Sadeleşirse ne olur?
Geriye ne kaldı? 1 bölü... Bunlar sadeleşti.
Pay'da 1 kaldı. 1 bölü, "mutlak değer
kosinüs iks".
Yaklaştığımızı hissediyorsunuzdur.
Çünkü bu, buna çok benziyor. Sadece simetriği.
Buna ulaşmak için, ters çevirelim.
Ters çevirirsek ne olur peki?
1'i ters çevirirsek ne olur?
1 bölü 1, yine 1'dir.
Ama bir eşitsizliğin her iki yanını ters çevirirseniz,
eşitsizlik yön değiştirir, değil mi?
Ne demek istediğimi anlamadıysanız, şöyle açıklayayım.
"1 bölü 2" küçüktür 2 dersem ve her iki yanı da ters çevirirsem,
2 BÜYÜKTÜR "1 bölü 2" olur.
Umarım şimdi anlamışsınızdır.
Eşitsizliğin tüm bölümlerini ters çevireceksem,
eşitsizlikler de yön değiştirmeli.
O hâlde, 1 BÜYÜKTÜR "mutlak değer sinüs iks" bölü
"mutlak değer iks", BÜYÜKTÜR, "mutlak değer
kosinüs iks".
Şimdi size bir soru sorayım.
"Mutlak değer sinüs iks" bölü...
"Sinüs iks" bölü iks'i düşünelim.
İster birinci bölgede olsun, ister dördüncü bölgede,
"sinüs iks" bölü iks ifadesi,
eksi bir değer alır mı? Bu, olası mıdır?
Birinci bölgede, sinüs iks artıdır;
iks de artıdır.
Yani, artı bölü artı,
yine artı olur.
Dördüncü bölgedeyse, sinüs iks, eksidir. Çünkü, ordinat burada eksidir.
Açı da eksidir. Yani, iks de
eksidir.
O hâlde, dördüncü bölgede, sinüs iks bölü iks,
"eksi bölü eksi" olur.
Yani, sonuç artıdır.
"sinüs iks" bölü iks, daima artıdır.
Yani, "mutlak değer" gereksiz oluyor.
O hâlde, 1 büyüktür, "sinüs iks" bölü iks.
Aynı mantıkla devam edelim. Birinci ve dördüncü bölgelerde...
Biz bu bölgelerle ilgileniyoruz.
İlgilendiğimiz aralık şu: "eksi pi bölü 2", küçüktür, iks,
küçüktür, "pi bölü 2".
"Eksi pi bölü 2"den
"pi bölü 2"ye kadar.
Yani, birinci bölge ile dördüncü bölge.
Kosinüs iks, eksi olur mu?
Kosinüs, apsis'te değer alır. Birinci ve dördüncü bölgenin
tanımı gereği, apsis değerleri
burada daima artıdır.
Bu daima artıysa, mutlak değer işaretini
kaldırabiliriz ve olduğu gibi yazabiliriz.
İşte şimdi, Sandviç Teoremi'ni kullanma zamanı geldi.
Aşağıdakileri sileyim.
-
Size bir soru sorayım.
iks, sıfıra yaklaşırken,
1'in limiti nedir?
1 fonksiyou, daima 1'e eşittir.
iks, sonsuza yaklaşırken ya da
iks, pi'ye yaklaşırken diyebilirsiniz, fark etmez.
Bu, daima 1'e eşittir.
iks, sıfıra yaklaşırken, burası 1'e eşittir.
Peki, iks, sıfıra yaklaşırken, "kosinüs iks"in limiti nedir?
Bu da kolay.
iks, sıfıra yaklaşırken, "kosinüs sıfır", 1'dir.
Fonksiyon sürekli olduğuna göre, limiti 1 olur.
Sandviç Teoremi'ni kullanmaya hazırız.
Sıfıra yaklaşırken; yani iks, sıfıra yaklaşırken,
bu fonksiyon 1'e yaklaşır;
bu fonksiyon da 1'e yaklaşır.
Bu fonksiyon, yani bu ifade,
diğer ikisinin arasında.
Diğer ikisinin arasındaysa...
Sıfıra yaklaşırken, bu, 1'e yaklaşıyorsa; sıfıra yaklaşırken,
bu da 1'e yaklaşıyorsa; bu da onların arasındaysa;
sıfıra yaklaşırken o da 1'e yaklaşır.
Sandviç Teoremi'ni, BUNA ve BUNLARA dayanarak kullandık.
Şöyle diyebiliriz: Sandviç Teoremi gereği;
bu doğruysa, bu doğruysa ve bu da doğruysa,
"sinüs iks" bölü iks'in; iks, sıfıra yaklaşırkenki limiti 1'dir.
Umarım anlamışsınızdır.
Bunu anlamanın bir diğer yolu da şudur: Hipotenüsün giderek
kısaldığını, iks açısının giderek sıfıra yaklaştığını,
bu üçgenin alanıyla bunun alanının birbirine yaklaştığını
zihninizde canlandırmaktır.
Grafik anlamında görmek isterseniz
önceden çizmiştim.
Bakalım çizebilmiş miyim?
Size grafiğini göstereyim.
Böylece söylediklerime inanırsınız.
Dediğim gibi; 1, sinüs iks'ten daima büyüktür.
sinüs iks de, kosinüs iks'ten daima büyüktür. Tabii, "eksi pi bölü 2" ile
"artı pi bölü 2" arasında.
Bu ifade; iks, sıfıra eşitken tanımlı değildir.
Ama limitini bulabiliriz.
İşte burada.
Bu mavi çizgi, 1 fonksiyonu.
"ye eşittir 1" fonksiyonu.
Bu açık mavi olan da "kosinüs iks".
Bu da, "sinüs iks" bölü iks.
Burada yazıyla da belirtmiştim.
"sinüs iks" bölü iks fonksiyonu, bu kırmızı çizgi, "eksi pi bölü 2" ile
"artı pi bölü 2" arasında, yani birinci ve dördüncü bölgelerde,
daima diğer ikisinin arasında.
Daima, koyu mavi ile açık mavinin arasında.
Bu grafik, Sandviç Teoremi'nin ne olduğu konusunda da
bir fikir veriyor.
Açık mavi çizginin sıfıra yaklaşırkenki limitinin
1 olduğunu biliyoruz.
Üstteki koyu mavi çizginin sıfıra yaklaşırkenki limitinin
1 olduğunu biliyoruz.
Kırmızı çizgi, daima ikisinin arasındaysa
o da 1'e yaklaşır.
İşte size kanıt.
Sandviç Teoremi'ni ve az biraz da
görsel trigonometri kullanarak; iks, sıfıra yaklaşırken,
"sinüs iks" bölü iks'in limitinin 1 olduğunu kanıtladık.
Umarım aklınızı karıştırmamışımdır.