Tip:
Highlight text to annotate it
X
Bu videoda, çok önemli bir konu olan limit konusuna giriş yapacağız.
Limit, gerçekten de tüm matematiğin temelidir.
Bu kadar önemli olmasına rağmen çok ama çok kolay bir konudur.
Önce bir fonksiyon yazayım. Bir fonksiyon tanımlayayım.
Basit bir fonksiyon olsun. f(x) =(x -1) / (x -1)
Yani hem payda hem de paydada aynı ifade var.
Bir şeyi kendisine bölersek sonuç 1'dir.Peki neden direkt f(x) = 1 demiyoruz ki?
Kısmen haklısınız. f(x) = 1 ile bu ifade arasındaki fark tek bu
ifadenin x=1 iken tanımsız olmasıdır. Gelin size şöyle açıklayayım.
x=1 için pay 1 - 1 yani sıfır olur.
Paydada da 1 - 1 yani sıfır var.
Sıfır bölü sıfır da dâhil, sıfıra bölünen her ifade tanımsızdır.
Sadeleştirme yapabilirsiniz. Bu ifadenin f(x)=1 ile aynı şey olduğunu söyleyebilirsiniz ama x=1 olamaz koşulunu eklemelisiniz.
Bu iki ifade birbirine eşittir. İkisi de1 dışındaki tüm xdeğerleri için 1'e eşittir.
Ama x= 1 olduğunda her ikisi de tanımsızdır. Peki bu fonksiyonun grafiği nasıldır?
Size çizeyim. Bu y=f(x) ekseni. Bu da x ekseni.
Burası x=1 noktası. Burası da x=-1 noktası. y= 1 noktası burada. y=-1 de burada
ama soruyla ilgisi yok. Grafiği çizelim. 1 dışındaki tüm x değerleri için
f(x)=1 olacak Aynen şöyle bir grafik. Ama x=1 hariç. Fonksiyon x=1'de tanımsız.
Bu nedenle, buraya bir boşluk koyuyorum. Bu çember, fonksiyonun bu noktada tanımsız olduğunu belirtiyor.
Fonksiyonun x=1'deki değerini bilmiyoruz. Tanımlanmamış.
Fonksiyonun bu tanımı, 1'deki durumu söylemiyor. iks 1'e eşitken, fonksiyon tanımsız.
Fonksiyonun grafiği işte bu.
Fonksiyonun 1'deki değeri sorulursa, x=1'de bir boşluk olduğunu, bu nedenle de tanımsız olduğunu söylersiniz.
Gereksiz olacak ama tekrar yazayım.
fe 1 fonksiyonu tanımsız. Peki şunu sorsam: "iks eşittir 1 iken, fonksiyon neye yaklaşır?"
İşte burada, limit konusuna giriş yapmış oluyoruz. iks, 1 değerine giderek yakınlaşsın.
Peki fonksiyon bu sırada neye yakınsar?
Sol tarafta, tam olarak 1'de olmadığınız sürece, ne kadar yaklaşırsanız yaklaşın f(x)=1'dir.
Sağ tarafta da aynı durum söz konusu.
Daha fazla örnek çözdükçe, konuyu daha iyi pekiştireceksiniz.
"lim", limitin kısaltması olmak üzere, iks 1'e yaklaşırken fe iks'in limiti...
1'e inanılmaz derecede yakınlaştığınızı düşünün, ama asla tam olarak 1'de değilsiniz.
Fonksiyonumuz da 1'e giderek yaklaşacaktır. Aslında tüm değerler için zaten hep 1'deydi.
iks 1'e yaklaşırken fe iks'in limiti 1'dir.
Yine karmaşık gibi görünen bir gösterimle karşı karşıyayız.
iks 1'e yaklaşırken, fonksiyon neye yaklaşır, onu gösteriyor.
Bir eğri grafiği çizeceğimiz başka bir örnek yapalım ki konuyu pekiştirelim.
Fonksiyonumuz fe iks olsun. Çeşitliliği artıralım, değil mi? Fonksiyonumuz ge iks olsun.
ge iks fonksiyonumuzu şu şekilde tanımlayalım: iks 2'ye eşit olmadığında iks kare; iks 2'ye eşit olduğunda da 1 olsun.
Yine ilginç bir fonksiyon var. Gördüğünüz gibi "tamamen sürekli" değil.
Süreksizlik var. Çizmeye başlayayım.
Bu, ye eşittir ge iks eksenim. Bu da iks eksenim. Burası iks eşittir 1, burası da iks eşittir 2 noktası.
Burası eksi 1, burası eksi 2. iks'in 2'ye eşit olduğu nokta dışında, fonksiyon iks kareye eşit. Çizmeye başlayayım.
Parabol olacak. Yaklaşık şöyle bir şey.
En iyisi daha düzgün bir parabol çizeyim. Yaklaşık şöyle bir şey.
Paraboller tarihinin en güzel parabolü değil belki ama parabolün nasıl bir şey olduğunu size göstermiştir, umarım.
Simetrik olmalı. Durun yeniden çizeyim. Çok kötü oldu.
Bu daha iyi oldu. Tamam. Güzel. İşte oldu. Tamamdır.
Bu, "iks kare"nin grafiği. Ama iks 2'ye eşit olunca, fonksiyonumuz, "iks kare"ye eşit olmuyor.
iks 2'ye eşit olunca, burada bir süreksizlik var. Bu yüzden bir boşluk çiziyorum.
iks 2'ye eşit olduğunda, fonksiyon 1'e eşit oluyor.
Eksenlerin ölçeği aynı değil. Grafiğin üzerinde burası 4, burası 2, burası 1, burası da 3 olsun.
iks 2'ye eşitken, fonksiyon 1'e eşit.
Biraz tuhaf bir fonksiyon ama bu şekilde tanımlanabilir. Bir fonksiyonu nasıl isterseniz öyle tanımlayabilirsiniz.
Grafik, ge iks eşittir iks kare fonksiyonunun grafiğine çok benziyor.
Ama iks eşittir 2'ye geldiğinizde, bir boşluk var.
Çünkü iks 2'ye eşitken, iks kare fonksiyonunu kullanmıyoruz. ge iks eşittir 1 fonksiyonunu kullanıyoruz.
Tam olarak iks eşittir 2 noktasındayken, fonksiyon 1 oluyor. Diğer tüm noktalarda "iks kare" olarak tanımlı.
Şöyle bir soru sorayım: Fonksiyonun 2'deki değerini bulmak istersem, ne yapacağız?
Tanıma bakacağım. iks 2'ye eşitken, bu tanımı kullanacağım.
O da bana, fonksiyonun 1'e eşit olduğunu söylüyor. Daha ilginç bir soru sorayım.
iks 2'ye yaklaşırken, ge iks'in limiti nedir? Gösterimi biraz karmaşık gelebilir ama yanıtı çok ama çok basit.
iks 2'ye yaklaştıkça...
Çok özenli bir çizim yapmıyorum. Önümüzdeki videolarda yaparım.
iks 2'ye yaklaştıkça, ge iks neye yaklaşır? 1,9 olduğunda, 1,999 olduğunda, 1,999999 olduğunda, 1,99999999 olduğunda, ge iks neye yaklaşır?
Peki ya artı taraftan yaklaşırsak?
2,1 iken; 2,01 iken; 2,001 iken.
2'ye yaklaştıkça, fonksiyon neye yaklaşır?
Grafiğe bakınca görsel olarak da anlayabilirsiniz. iks 2'ye yaklaştıkça, yani grafik üzerinde ilerlerseniz, 4'e yaklaştığını görürsünüz.
-
Fonksiyon burada tanımlı olmasa da, fonksiyon o noktada 1 değerini alsa da, iks 2'ye yaklaştıkça ge iks'in limiti 4'tür.
Bunu hesap makinası kullanarak, sayısal olarak da hesaplayabilirsiniz.
Durun, göstereyim. Bence bu ilginizi çekecek. Hesap makinasını açayım.
Nerede benim sadık TI-85'im? İşte burada.
iks 2'ye yaklaşırken, fonksiyonun neye yaklaştığını, kolaylıkla söyleyebileceksiniz. iks eşittir 1,9 için üstteki koşulu kullanacağız.
1,9'un karesi 3,61.
2'ye daha da yaklaşırsak? 1,99. Onun da karesini alalım.
3,96. 1,999 alırsak. Karesini alayım.
3,996. Gördünüz mü? Gittikçe 4'e yaklaşıyoruz.
2'ye iyice yaklaşırsam. 1,999999999999'nin karesini alayım. Bakalım neymiş.
Aslında tam olarak 4 değil ama hesap makinası yuvarladı çünkü 4'e çok ama çok ama çok ama çok ama çok yakın bir sayı.
Artı yönünden bir sayıyla da yapabiliriz. Aşağıdan ya da yukarıdan yaklaşsak da, ulaşacağımız sayı aynı olacak.
-
2,1'in karesi, 4,4.
2,0001 alalım. 2'ye çok daha yakın.
Tabii karesi de 4'e çok daha yakın.
2'ye yaklaştıkça, 4'e de yaklaşıyoruz.
Fonksiyon süreksiz olduğu için tam olarak 2 noktasında 1'e eşit olsa da, iks 2'ye her iki yönden de yaklaştıkça, fonksiyon 4'e yaklaşır.
-
-