Tip:
Highlight text to annotate it
X
-
Matrisleri toplama, çıkarma, çarpma ve matris tersi alma konusunda çok işlem yaptık.
-
Şimdi, matrisin nerede kullanıldığı konusunu konuşalım.
-
Hatırlarsanız, matris, bir veri gösterme yoludur.
-
Öğrendiğimiz kuralları, insanların yarattığı kurallar olarak görebiliriz.
-
Doğada, matrisler öğrendiğimiz gibi çarpılacak diye bir şey yok.
-
Uygulamaya geçtiğimizde, matris işlemlerinin çok kullanışlı olduğunu göreceksiniz.
-
-
Şimdi Cebir 1 veya Cebir 2, lineer denklemleri nerede öğreniyorsanız, oraya dönelim.
-
-
Lineer denklemler nedir?
Lineer denklem sistemleri.
İki doğrunuz var, ve doğruların kesiştiği noktayı bulmak istiyorsunuz.
-
Örneğin, şöyle bir şey olabilir, 3x artı 2y eşittir 7.
-
-
-
Ayrıca, eksi 6x artı 6y, sayıları uydurmak için biraz düşünmeliyim, eşittir 6.
-
-
Sanıyorum, bu denklemlerin sonucu düzgün çıkacak.
Şimdi, soru neydi?
Bu bir doğru, bu da bir doğru.
Şimdi, nerede kesiştiklerini bulmamız lazım.
Eğer bu iki doğruyu çizerseniz - hadi, çizelim.
-
Çünkü, konumuz anlamak ve bunların matris dünyasına nasıl yansıdığını görmek.
-
-
Bu arada, "matris dünyası" ifadesi 1999'dan sonra tamamen değişik bir anlam kazandı.
-
Şimdi, bunlar koordinat eksenlerim ise, bu nedir?
Her şeyi y eşittir mx artı b şekline dönüştürüyorum - dolayısıyla, bu denklem nedir?
-
y eşittir 3/2 x artı 7/2.
7/2 nedir?
3 buçuk gibi bir şey?
Demek ki, eğimi 3 buçuk olacak.
Eğimi 1'den biraz dik olacak.
Doğrunun grafiğini şuna benzeyecek.
-
-
Şimdi bu doğru neye benzeyecek?
Farklı bir renkte çizeyim.
-
A, ne oldu biliyor musunuz?
Bunu yanlış yaptım.
-
Öteki doğru, aslında, eşittir eksi 3x artı 7/2.
-
Çünkü, bunu öteki tarafa aldığımızda, eksi 3x bölü 2 oluyor, dolayısıyla eğimi aşağı doğru olacak.
-
-
Yani, buna benzeyecek.
Eksi 1'den daha dik olacak, tahmin yürütüyorum.
-
Doğru, şuna benzeyecek.
Ve, bu doğru, sanıyorum, y eşittir x artı 1, olacak.
-
Evet.
Bu, öteki tarafa gidiyor ve her şeyi 6'ya bölüyoruz.
-
y eşittir x artı 1, dolayısıyla, öteki doğrunun y keseni 3 buçuk demiştik, bu doğrunun y keseni 1.
-
Ve, eğimi de 1.
Yani, şuna benzeyecek.
-
Buna göre, bir denklem sistemi çözerken, iki denklemi de sağlayan x ve y değerlerini bulmaya çalışıyoruz.
-
-
Bu koyu pembe doğru, ilk lineer denklemi sağlayan x ve y değerlerini gösterir.
-
Ve bu yeşil doğru, ikinci denklemi sağlayan tüm x ve y değerlerini gösterir.
-
İki doğrunun kesiştiği yer de, iki denklemi birden sağlayan x ve y değerlerini gösterir.
-
Cebir 1'de böyle yapmıştık.
Denklem sistemini bu değerleri bulmak için çözüyoruz.
Yerine koyma veya yok etme vs yöntemleri ile denklem sistemlerini çözüyorduk.
-
Gauss-Jordan yok etme yönteminde de aslında aynı şeyi yaptığımızı göreceksiniz.
-
-
Yalnızca, Gauss-Jordan yönteminde bunu biraz farklı ifade ettik.
-
Bu kadarını zaten biliyorduk.
Şimdi matris dünyasına uyarlayalım.
Bu problemi matris olarak nasıl gösteririz?
Şöyle yazabiliriz. Bunun aynı şeyi gösterdiğini size kanıtlayalım.
-
-
Matrisleri matris çarpımına göre tanımlarsak, bu problemi 3, eksi 6, 2, 6.
-
-
Katsayıları aldım, 3, eksi 6, 2, 6.
Eğer bu matrisi, x y sütun matrisi ile çarparsam, ve bunu başka bir sütun vektörüne, 7, 6, eşitlersem.
-
-
-
-
-
Burada durdurup, çarpımı öğrendiğimiz gibi yapmak isteyebilirsiniz.
-
-
Aynı şeyi elde edeceğinizi görürsünüz.
Eğer siz yapmak istemezseniz, ben şimdi yaparım.
-
Şimdi iki matrisi çarpalım.
-
-
Ne yapıyoruz?
Birinci matristen satır bilgisini, ikinci matristen de sütun bilgisini alıyoruz.
-
Ve bu da, çarpım matrisini veriyor.
Bu, 3 çarpı x artı 2 çarpı y eşittir 7, demek.
Biz de buraya böyle yazmıştık.
3 çarpı x artı 2 çarpı y eşittir 7.
Aynı şekilde alt satırı çarparsak, eksi 6 çarpı x artı 6 çarpı y eşittir 6, elde ederiz.
-
Eğer bu kafanızı karıştırdıysa, matris çarpımını hatırlayın.
-
Bunu çarparsanız, aynı denklemleri elde edersiniz.
-
Umarım, bunun yalnızca bu problemi farklı bir ifade etme şekli olduğunu anlamışsınızdır.
-
Artı ve eşittir işaretlerinden kurtulmuş olsak da.
-
Bu ifade şeklini de bilmemiz gerekiyor.
Peki, bu ifade şekli neden kullanışlı?
-
Bu matrise A diyoruz.
-
Bu vektöre x diyelim.
-
Bu, bir değişken değil.
Bir vektör.
Değişkenden farklı göstermek için, koyu renkle yazalım veya küçük bir vektör işareti koyalım.
-
Neyse.
Ders kitabında koyu renkle yazıldığını göreceksiniz.
-
Ve, bu vektöre de b diyelim.
Doğru hatırlıyorsam, notasyonda, matris veya vektör koyu renkle yazılıyordu.
-
Ve vektör olmayan matrisler, yani birden fazla sırası veya sütunu olan matrisler, büyük harfle ifade ediliyordu.
-
-
Vektörler de aynı zamanda matristir, ama küçük harfle gösterilirler.
-
-
Bu sebepten de, bunu büyük harfle gösteriyoruz.
-
Bu denklem, a x artı b şeklinde, a matris, x ve b sütun vektörü.
-
-
Bunun faydası nedir?
Eğer tersini biliyorsak ne olacak?
Bir ara verelim.
Eğer bunlar sayı olsaydı ne yapardık?
Size cebirsel bir a x eşittir b denklemi verseydim, nasıl çözerdiniz?
-
Denklemin iki tarafını da a'ya bölerdiniz. Veya, iki tarafı da a'nın tersi ile çarpardınız.
-
-
Şöyle demiş olurdunuz, 1/a çarpı a x eşittir 1/a çarpı b.
-
Sonra, bunlar sadeleşirdi, ve x eşittir b/a elde ederdiniz.
-
Basit bir lineer denklemi böyle çözeriz.
-
O zaman, burada ne yapacağız?
Bölmenin matrise uygulanışı nedir?
Size cevabı veriyorum.
Tersi ile çarpmak
-
Eğer matrisin tersini biliyorsak, iki tarafı da bu ters matrisle çarpabiliriz.
-
-
Unutmayın, işlem sırası önemli.
Lineer denklemdeki gibi, iki taraftan da çarpamazsınız.
-
-
-
Dikkat ederseniz, iki durumda da sayıların önüne koydum. Siz de öyle yapmalısınız.
-
Ama, matrisin tersi varsa ve bunu biliyorsanız, denklemin iki tarafını da bu ters matrisle -soldan - çarpabilirsiniz.
-
-
-
a'nın tersi çarpı a, çarpı x vektörü eşittir a'nın tersi çarpı b.
-
Bu ifadeyi aldım ve iki tarafı da ters matrisle çarptım.
-
a'nin tersi ile a'nın çarpımı nedir?
Birim matristir.
O zaman, birim matris çarpı x eşittir a'nın tersi çarpı b.
-
Bu, yalnızca x.
Birim matris çarpı başka bir matris, o matrise eşittir.
-
O zaman, bunun sonucu, x vektörü eşittir a'nın tersi çarpı b.
-
Dolayısıyla, bir lineer denklemde, matrisin tersini biliyorsanız, x ve y'yi bulmak için, şuradaki sayıyı ters matrisle çarpmanız gerekiyor.
-
-
Sal, bu çok gereksiz ve uzun, diyebilirsiniz.
Bu çok basit bir denklem. Neden matris tersi bulmakla ve sonra sayıyı ters matrisle çarpmakla uğraşayım?
-
-
Size bir yere kadar katılıyorum.
2 ye 2 denklem sistemlerini çözmek için Cebir 1 veya 2'de kullandığınız yol, daha kolay.
-
3'e 3 için de ters bulmak zor.
-
-
Daha büyük boyutlarda da ters matris bulmak zor, ama birkaç denkleminiz olduğunda bu metodun faydasını görüyorsunuz.
-
-
-
-
Sol taraf aynı kalıyor.
Sağ taraf değişiyor.
Diyelim ki, a x eşittir b. Sonra da, başka bir tane olur, a x eşittir c, ve a x eşittir d.
-
-
Bu sayılar değişip durur.
Bunlar aynı kalır.
O zaman matris tersini bulmak işimize yarar.
Yeni bir çözüm bulmanız gerekiyorsa, yeni sağ tarafı ters matrisinizle çarpıp cevabınızı elde edersiniz.
-
-
Buna farklı bir açıdan baktığımızda, daha da faydasını göreceğiz.
-
Neyse, bunların aynı şey olduklarını göstermek istemiştim.
-
Şimdi matris bilgimizi kullanarak bunu çözelim.
-
Şurayı sileyim, bu beklediğimden uzun sürdü, ama, umarım sizi sıkmıyorum.
-
-
Şunu tutayım, yaptığımızın görsel açıklaması da önemli.
-
-
Yaptığımız şeyin ne olduğunu unutmayın.
Peki, ters matris nedir?
Öncelikle, a'nın tersi, 1 bölü a'nın determinantı çarpı bu matrisin ek matrisidir.
-
Terminolojiyle kafanızı karıştırmak istemiyorum, ama ek matris neydi?
-
2'ye 2 için kolay bulunuyordu.
Şu iki terimin yerlerini birbiriyle değiştiriyoruz. 6 ve 3 elde ediyoruz.
Bu iki terimin de eksilerini alıyoruz.
Eksi 6, 6 oluyor.
2 de eksi 2 oluyor.
-
a'nın determinantı nedir?
a'nın determinantı eşittir bu çarpı bu eksi şu çarpı şu.
-
Yani 3 çarpı 6.
3 çarpı 6 eşittir 18, eksi bu çarpı bu.
6 çarpı 2 eşittir 12.
Bu eksi 6.
Bu eksi 12.
Yani, eksi eksi 12.
Eksi eksi, artı demek.
Buna göre, 18 artı 12 eşittir 30.
a'nın tersi neye eşit?
1/30 çarpı bu.
a'nın tersi eşittir- 1/30'u dışarıda tutabiliriz.
-
-
Bu işleri basitleştirebilir.
-
O zaman a ters neye eşit?
Bu, bölü 30.
-
-
-
Neyse, 1/30 çarpı 6, eksi 2, 6, 3.
a'nın tersi bu.
Şimdi x ve y'yi bulalım.
x ve y eşittir a'nın tersi çarpı b.
O zaman, x vektörünü, x ve y olarak belirtebiliriz.
-
-
Kafanız karışmasın, bu x, şu x'den farklı.
-
Bir dizgici olsam, bunu çok koyu renkle yazardım ki, vektör olduğunu anlayın.
-
Belki vektör notasyonu kullanmalıyım, bilmem.
-
-
Bu, a'nın tersi çarpı şu.
Yani 1/30.
Bunu işlemleri basitleştirmek için yapıyorum.
Matris çarpımı kolay olsun diye her şeyi 30'a bölmedim.
-
Eksi 2, 3 çarpı 7, 6.
-
Bu neye eşit?
1/ 30 çarpı 6 kere 7 eksi 2 kere 6.
-
-
6 çarpı 7 eşittir 42
Eksi 2 çarpı 6 eşittir eksi 12.
Demektir ki, bu 30'a eşit.
Ve, 6 kere 7 artı 2 kere 6.
6 kere 7, yine, 42.
Artı 2 kere 6.
Buna göre, 42 artı 12 eşittir 50.
Doğru mu?
6 kere 7 - pardon, bu 3 olacaktı.
-
Bu sebepten, kafam karıştı.
Güzel yazı yazmanın önemini görüyorsunuz.
6 kere 7 eşittir 42, artı 3 kere 6.
Yani 42 artı 18, 60.
Ve tabii, ikisini de 30'a bölüyoruz.
Ve x y'yi buluyoruz.
Şuraya yazıyorum
Hiçbir şeyi silmek istemiyorum.
Bunları 30'a bölerek, x y'nin 1 ve 2'ye eşit olduğunu buluyoruz.
-
Bu bize, bu iki lineer denklemin x eşittir 1 ve y eşittir 2 noktasında kesiştiğini gösterir.
-
Çözüm biraz uzun görünmüş olabilir, ama size uzun uzun anlattığım için böyle gelmiştir.
-
Eğer hemen denklemleri bu şekilde ifade etmiş, ters matrisi bulmuş ve çarpmış olsaydınız, fazla zamanınızı almazdı.
-
-
Alıştırma olarak bunu yapmanızı tavsiye ediyorum.
Neyse, bir sonraki videoda görüşürüz.
Bir sonraki videoda, aynı soruyu tekrar çözüp bu verilerin farklı bir probleme ait olması durumunu inceleyeceğiz.
-
-
Yakında görüşürüz.
-