Tip:
Highlight text to annotate it
X
Son videoda, e üzeri x'in Maclaurin serisini bulduk. Birkaç eksi dışında, bu serinin kosinüs x ve sinüs x'in polinom ifadelerinin birleşimi olduğunu fark ettik.
-
Bu eksileri yoketmek için, bir küçük hile yapacağım.
-
Şimdi, e üzeri x'in bu polinom açılımını alıyoruz,sonsuz sayıda terimle bu yakınsamadan ziyade eşitliğe dönüşür.
-
e üzeri ix, ne olur? Polinom açılımı olmasaydı, bir tabanın i üssünü almak bize garip gelebilirdi.
-
-
Ama, şimdi e üzeri x'in polinom açılımı olduğu için, biraz mantıklı gelebilir, çünkü i'nin kuvvetlerini alabilirim. Örneğin, i kare eşittir eksi 1, i küp eşittir eksi i, vesaire.
-
Peki, e üzeri ix'i aldığımızda, ne olacak? x yerine ix'i koymakla aynı şey.
Polinomda x gördüğümüz her yere, ix yazalım. Burada olayın mantığını göstermeye çalışıyoruz, ispat yapmıyoruz. Ama, yine de bu videoda son derece önemli bir sonuca varacağız.
-
-
-
Eşittir 1 artı ix artı, peki ix'in karesi nedir? Terim, ix'in karesi bölü 2 faktöriyel. i kare eşittir eksi 1 ve yanında, x kare bölü 2 faktöriyel var.
-
O zaman, eksi x kare bölü 2 faktöriyel olacak. Sanıyorum, örüntüyü görmeye başladınız.
Şimdi, ix'in kübü nedir?
Aslında, öncelikle, açılımının tamamını yazmak istiyorum. Artı ix'in karesi, bölü 2 faktöriyel, artı ix'in kübü, bölü 3 faktöriyel, artı ix'in dördüncü kuvveti, bölü 4 faktöriyel, artı ix'in beşinci kuvveti, bölü 5 faktöriyel, ve böyle devam ederiz.
-
Şimdi, bu ix'in kuvvetlerini bulalım. Bu, eşittir 1 artı ix, artı ix'in karesi, yani i kare x kare, i kare eşittir eksi 1. Yani, eksi x kare, bölü 2 faktöriyel.
Sonra, i küp x küp var, i küp eşittir i kare çarpı i, yani eksi i. Demek ki, terimimiz eksi i x küp, bölü 3 faktöriyel.
Ve, artı, i üzeri 4 nedir? i karenin karesi, yani eksi 1'in karesi, bu da 1. Buna göre, i üzeri 4 eşittir 1. Sonrasında da x üzeri 4 var. Yani, artı x üzeri 4, bölü 4 faktöriyel.
-
-
i üzeri 5, 1i olacak. Demek ki, bir sonraki terim, i çarpı x üzeri 5, bölü 5 faktöriyel. Sanıyorum bir örüntü görüyorsunuz. Katsayılar, 1, i, eksi 1, eksi i, 1 , i, ve eksi 1 çarpı x üzeri 6, bölü 6 faktöriyel, ve sonra, eksi i çarpı x üzeri 7, bölü 7 faktöriyel.
-
Buna göre, bazı terimlerde i var, yani bunlar imajiner terimler, bazı terimler de gerçel. Bu ikisini neden ayırmıyoruz?
-
Şimdi, gerçel ve imajiner terimleri ayıralım. Bu, gerçel. Bunlar da gerçel. O zaman, gerçel terimler, 1 eksi x kare, bölü 2 faktöriyel, artı x üzeri 4, bölü 4 faktöriyel, eksi x üzeri 6 bölü 6 faktöriyel. Böyle devam edebiliriz.
-
-
-
İmajiner terimler nelerdir? i çarpanını ayırayım. Bu, ix, o zaman x kalır, bir sonraki terimde i'yi ayırırsak, eksi x küp, bölü 3 faktöriyel kalır. Sonra, artı x üzeri 5, bölü 5 faktöriyel, eksi x üzeri 7, bölü 7 faktöriyel. Artı, eksi sonsuza kadar terim ekleriz.
-
-
-
-
e üzeri ix, bunların toplamına eşit.
Son birkaç videodan hatırlarsanız, gerçel kısım, kosinüs x'in Maclaurin serisine eşitti. Yani, bu ikisi aynı.
-
-
-
Buradaki de, sinüs x. Öyle görünüyor ki, kosinüs x ve sinüs x'i bir şekilde toplayıp, e üzeri x'i elde edebileceğiz.
Bu, sinüs x, ve sonsuz sayıda terim toplarsak, bu da kosinüs x olur.
-
Sonuçta, mükemmel bir formül elde ediyoruz. Şunu diyebiliriz: e üzeri ix eşittir, kosinüs x artı i sinüs x. Bu, Euler'ın formülü.
-
Bu size çok heyecanlı ve çılgın gelmeli, çünkü çok klas şeyler yaptık.
-
Sürekli bileşik faizden elde ettiğimiz e, dik üçgen oranları olan ve birim çemberden elde edilen kosinüs x ve sinüs x'i formülün içine kattık, bir de tabii eksi 1'in 1 bölü 2'nci kuvvetini.
-
Ve, bu süper bağıntıyı elde ettik. Daha da mükemmeline ulaşmak için, radyan kullandığımızı, ve x'in pi'ye eşit olduğunu varsayalım.
-
Bir çılgın sayı daha eklemiş olalım, çemberin çevresinin çapına oranı.
Pi'yi katarsak, ne olur? e üzeri i çarpı pi eşittir, kosinüs pi, kosinüs pi nedir? pi, çemberin yarısı demek, yani kosinüs pi eşittir eksi 1 ve sinüs pi eşittir 0. Bu terim, ortadan kalkar.
-
Formüle pi sayısını koyarsak, inanılmaz bir şey elde ederiz, Euler Özdeşliği.
Böyle yazabiliriz, veya iki tarafa 1 ekleyebiliriz. Vurgulamak için farklı bir renkte yazayım. e üzeri i pi artı 1 eşittir 0.
Bu, size, kainatta henüz anlamadığımız, en azından benim henüz anlamadığım, bir bağlanmışlık olduğunu haber veriyor.
-
-
i sayısı, mühendisler tarafından, polinom köklerini bulmak için tanımlanmış.
Pi, çemberin çevresinin, çapına oranı. Yine ilginç bir sayı, ama tamamen farklı bir alanda bulunmuş.
-
e'nin ise, finans için çok önemli olan sürekli bileşik faizden veya türevi kendiyle aynı olan e üzeri x'ten geldiğini düşünebilirsiniz. Yine mükemmel bir sayı, ama i veya pi'yle alakası yok gibi.
-
-
Sonra da en temel sayılardan olan 1 ve 0 var.
-
Bu özdeşlik, tüm bu temel sayıları mistik bir şekilde birbirine bağlıyor ve kainattaki bağlanmışlığı bize gösteriyor.
Gerçekten de, bundan etkilenmiyorsanız, duygudan yoksunsunuz demektir.
-