Matematiğin Sıfır İle Sınavı

Matematiğin Sıfır İle Sınavı Bir sayının sıfır ile bölümü neden tanımsızdır? Sıfır ile çarpma sıfır olarak kabul edildiğinden ve eğer sıfır ile bölme bir sayıya karşılık gelirse, bu bölme işleminin sağlamasını yaptığımızda tutarsız bir durum ile karşı karşıya gelmeyelim diye mi? İyi ama bir sayının sıfır ile çarpımını sıfır, sıfır ile bölümünü de tanımsız kabul edip, neden böyle yaptığımızın açıklamasını birbirlerine delil getirerek yapmak kabul edilebilir bir neden değildir ki. Yaptığımız bir kabule neden olarak yaptığımız bir başka kabulü gösterme, bir ispat değildir. Eğer kabul edilir bir açıklama yapmak istiyorsak, açıklamamızı bir şekilde matematiğin temeline dayandırmamız gerekiyor. Peki, neden tanımsız olabilir? Sadece bölme değil; sıfır ile yaptığımız çarpma da tanımsızdır aslında. Yani sıfır ile bölmenin tanımsız olması, aslında sıfır ile miktar işlemi yapmanın tanımsız olmasından kaynaklanmaktadır. Tabi eğer yapabilirsek… Ne demek bu? Matematiğin Temelleri videosunda, evrensel matematik müfredatının yanlış bilgiler üzerine inşa edildiğini söylemiştik. Bunun sonucu olarak da “i kök eksi bire eşittir” ya da “eksi ile eksinin çarpımı artı eder” diye anlatılan ve neden böyle olduğu sorusu ise “bunlar böyle kabul edilmiştir” denilerek geçiştirilen konuların aslında hiç de öyle olmadığını göstermiştik. Ama şu anda görüyorum ki, fiziksel evreni ve bunun işleyişini evrensel olarak ifade etmesi için tasarlanan matematiğin kendisinde de, tasarımında da bir hata var. Devrim Dersleri – 1: Matematiğin Temellerinde müfredat hatasından bahsetmiştik; şimdi matematiğin içindeki tasarım hatasından… Fizik hatalı olabilir mi ya da kimya, biyoloji? Hayır olamaz. Bilimsel deneylerden, sınanma yöntemlerinden başarıyla çıkmış konular hatalı olamaz. O zaman mekanik evrenin işleyişinde hata var demektir. Peki, matematik hatalı olabilir mi? Elbette. Matematik bir bilim dalı değildir. Miktarı, konumu, artışı, azalışı, hareketi göstermek için tasarlanmış insan yapımı bir yöntemdir. Hatalı olabilir. İşte biz de bu derste hem sıfıra bölmenin neden tanımsız olduğunu matematiğin temelleri üzerinden açıklamaya çalışacağız hem de buradan hareketle matematiğin içindeki tasarım hatasından bahsedeceğiz. Tabi hemen şu soruyu sormak gerekiyor: Eğer matematik hatalı ise ve matematik doğa kanunlarını göstermek için tasarlanan bir dil ise, o zaman doğa kanunlarının ifadesinde de hatalı sonuçların çıktığı yerler olmalı. Bununla ilgili bir delil var mı? Var. Örneğin kuvvet – İş – Güç – Enerji videosunda enerji formülünü çıkarırken kütle çekim alanı yaratan bir cismin yarattığı alanın enerji hesabında, bu alandan etkilenen bir başka cismi, R noktasına sıfır noktasından değil de sonsuzluktan getirmemiz matematiksel olarak tanımsız bir durum ile karşılaşmamak için yaptığımız bir şeydi. Oraya geleceğiz. Önce sıfıra bölmenin tanımsızlığı meselesi ile başlayalım. Matematiğin Temelleri videosunda 2 bilgi verdik. Bunlardan birincisinde bir sayı konum da gösteriyor olabilir miktar da dedik ve bir sayının konum mu miktar mı gösterdiğini işlem yapmadan bilemeyiz diye de ekledik. İkinci bilgi olarak da fiziksel evrendeki her şeyin matematikte bir karşılığı olmalı çünkü matematik bunun için var dedik. Önce konum için kullandığımız sembolleri yazalım. Hatırlarsanız bunun için önce bir yeri referans seçip oraya sıfır atıyorduk sonra sağa doğru sembolleri ekliyorduk. Sola, yukarı ve aşağı doğru eklediğimiz sembolleri de eksi ve i işlemlerini kullanarak yine bu semboller üzerinden yapıyorduk. Yani adresleme için temel olarak birbirinden farklı on tane simge ve basamak kavramını kullanmak yeterli oluyordu. Bunlardan, örneğin üç, şurayı gösteriyor. Yedi şurayı. Sıfır da referans noktamızı… Hepsi fiziksel evrende var olan bir yeri gösteriyor. Yani hepsi bir varlığı gösteriyor. Bunun yanı sıra konum gösteren sayılar arasında büyüklük küçüklük ilişkisi de bulunmaz. Yani keyfi olarak belirlediğimiz referans noktasına göre farklı noktaları gösterme dışında bu sayılar arasında hiçbir fark bulunmamaktadır. Şimdi de birden dokuza miktar için kullandığımız sembolleri yazalım. Burada, konum göstermesi için kullandığımız aynı sembolleri miktar göstermesi için kullandığımızda da yine hepsi bir varlığı göstermeye devam ediyor sadece aralarında büyüklük küçüklük ilişkisi oluşuyor. Dolayısıyla şu anda ekran gözüken toplam 19 sayının bir bölümü miktar diğer bölümü konum gösterse de hepsinin ortak özelliği bir varlığı gösteriyor olmaları. Peki, yokluk? Onu ne ile sembolize edeceğiz? Sıfırla mı? Ama sıfır konumda bir varlığı gösteriyordu. Yokluğu simgeleştirmek için sıfırı kullanırsak, konumda varlığı gösteren bir sembolün bir anda apayrı bir şeyi yokluğu temsil etmesi kabul edilebilir bir şey mi? Yani bir sembolü sadece hem konum hem miktar göstermesi için değil, hem varlığı hem de yokluğu göstermesi için kullanmak doğru bir şey mi? Bir de şu şekilde sorgulayalım: Miktarda yokluğu sembolize etmeye gerek var mı? Matematik madem fiziksel evreni ve ondaki değişimi göstermek için kullandığımız sembollerden ibaret ise, yokluğun matematikte yeri olmalı? Eğer var olmayan bir şeyin fiziksel olarak bir anlamı yoksa bunun matematikte karşılığı olabilir mi? Ayrıca, miktar işlemleri sadece çarpma ve bölme ise sayıları bölerek çarparak yokluğa yani sıfıra ulaşabilir miyiz? Evrende bir şey yok olabilir mi? Yani matematiğin tarihsel gelişiminde ne olmuş olabilir ki biz bugün sıfır ile çarpma işlemini sıfır, sıfır ile bölmeyi ise tanımsız olarak kabul ediyoruz? Tüm bu sorulara cevap olması açısından iki farklı senaryo yazabiliriz. Birinci senaryo için şöyle diyelim: Matematiğin tarihsel gelişiminde yokluğu miktarda sembolize etmenin doğru olduğu kabul edildi ve bunun için konumda referans noktası olarak kullandığımız sıfır simgesi kullanıldı. Böylece sıfır, yapılan işlemin türüne göre ya konum ya da yokluğu gösterir oldu. Peki, bir şeyi yokluk ile çarpma, bölme ne demektir? Neyi ifade eder? Hiçbir şeyi. Onun için sıfır ile miktar işlemleri yapmak tanımsız olarak kabul edildi. Ama neden mevcut müfredatta sadece sıfır ile bölmeye tanımsız deniyorken, diğer işlemler için sıfıra eşittir deniyor. Pratik ifade olsun diye yıllar içinde bu noktaya evirilmiş olmalı. Şöyle: İşlem yaparken eğer bir yerlerde yokluğa ulaştıysan ardından gelecek miktar işlemlerini durdurup, yokluğa ulaştığını söyleyip bırakman gerekiyor. Çünkü yokluğa ulaşmak da bir şekilde tanımsızlığa ulaşmak gibidir. Bu durum, yıllar içerisinde, pratik ifade adına sıfır ile çarpım sıfır noktasına getirilmiş olmalı. Yani bir sayı sıfır ile çarpım işlemine sokulduğundan sonuç sıfır değildir. Buradaki sıfır bir önceki işlemin sonucudur. Burada, sıfır ile yani yokluk değeri ile miktar işlemleri yapamayacak olduğumuz için aslında bu çarpım işlemini de yapmıyoruz ve bir önceki işlemden gelen sıfır, doğrudan sonuç oluyor. Yani sıfır ile çarpım sıfır olduğu için sonuç sıfır değildir. Bir önceki işlemde sıfıra ulaşıp işlemleri bitirdiğimiz için sıfırdır. Dediğimiz gibi bu durum yıllar içinde, pratik ifade açısından “sıfır ile çarpım sıfırdır” noktasına evirilmiş olmalı. Aynı i’nin kök eksi bire evirildiği gibi… Aynı mantık bölme için de geçerli: Bölme işlemini yapmadan önce yokluk değerine ulaştıysak, o noktada işlemleri durdurup sonucun sıfır olduğunu söylüyoruz. Ama bu durum bir sayıyı sıfıra bölerken geçerli olmayacaktır. Çünkü sıfıra bölmede bir önceki işlemden gelen bir sayı değeri var yani sıfıra ulaşmadan önce bir sayı değerine ulaşmışız artık. O sayıyı göz ardı edemeyiz. İşlemleri durduramayız. O zaman burada sonuç değeri bir önceki işlemden değil, sıfıra bölme işleminden gelecektir. O da tanımsız olacaktır. Burada pratik olarak ifade edilecek bir durum olmadığı için günümüze ulaşmış herhangi bir evirilme de yok. Peki, ikinci işlem üç çarpı sıfır niye böyle? Daha önce ulaştığımız bir sayıyı göz ardı etmiş olmuyor muyuz? Burada sıfırdan önce bir değere ulaşılmış gibi dursa da çarpmanın değişme özelliği hangisine önce ulaşıldığını anlamsızlaştırıyor. Böylece bu durum ile birinci örneğin bir farkı kalmıyor. Sıfıra ulaştığında işlemleri durdurma konusu yokluğa ulaşmanın fiziksel olarak mümkün olmayan bir durum olması ile de açıklanabilir. Yani zaten yokluğa ulaşmak tanımsızlığa ulaşmak gibi anormal bir durumdur denilebilir. Ki, yıllar içinde insanlar oluşturdukları yanlış algı ile hep tanımsızlığa ulaşmanın mantığını sorgulamışlar. Ama aslında yokluğa ulaşmak da aynı tanımsızlığa ulaşmak gibi sorgulanması gereken bir durumdur. Yani bu birinci senaryomuza göre yokluk diye bir kavramı kabul ettiysek bunu sıfır ile sembolize ettiysek bile sıfır diye bir sonuca miktar işlemleri ile ulaşamamış olmamız gerekiyor. Eğer ulaşmışsak bir şeyler ters gidiyor demektir. Ama şunu da vurgulamak gerekiyor: eğer öyleyse bile, bu senaryoda sıfırın hem varlık hem yokluk gösterme durumu dışında bir mantık hatası daha var demektir. O da: eğer miktarda yokluğu sıfır ile simgeleştirdiysek ve bununla miktar işlemleri yapmanın da tanımsız olduğunu söylediysek o zaman yokluğu simgeleştirmenin ne anlamı var. Çok daha tutarlı olan ikinci senaryomuz ise şöyle: Yokluk diye bir şeyin fiziksel evren için bir anlamı yoktur. Onun için bunu temsil edecek bir sembole de ihtiyacımız yoktur. Bunun sonucu olarak sıfır her zaman konum gösterir. O zaman mesela Matematiğin Temelleri videosunda söylediğimiz “Bir sayı miktar da gösterir konum da, onun ne gösterdiğini işlem yapana kadar bilemezsin” ifadesi sıfır için geçerli değildir. Sıfır her zaman konum gösteriyor ise sıfır ile miktar işlemi yapmak tanımsızdır çünkü konum gösteren sayılar ile miktar işlemleri yapamazsın. Yani konum değeri ile miktar işlemleri yapmak bu iki kavramın doğasına aykırı olduğu için tanımsızlık ifadesi gayet tutarlı bir şekilde bu durumu temsil ediyor. Peki, neden “sıfır ile çarpma sıfırdır” deniyor sorusunun cevabını da ufak bir farkla aynı birinci senaryoda olduğu gibi verebiliriz. Eğer işlem yaparken sıfır değerine yani konum gösterdiğinden emin olduğumuz bir değere ulaştıysak ondan sonra gelen çarpma ve bölme işlemlerini yapmadan sonuç sıfırdır diyerek bırakıyoruz. Ve yine aynı bir önceki senaryoda olduğu gibi sıfır ile bölmede sıfırdan önce ulaşmış olduğumuz bir değer olduğundan onu göz ardı edemiyor ve konum gösteren bir sayı ile miktar işlemi yapmayacağımızı “sonuç tanımsızdır” diyerek belirtiyoruz. Burada iki senaryo için de sıfıra ulaştığımızda işlemleri bırakarak sonuca ulaşma durumuz aynı. Birinci senaryoda bunu, sıfır yokluk gösterdiği için yaptık. İkinci senaryoda ise miktar işlemi yaparken konum değeri ile karşılaştığımız için yaptık. Ayrıca iki durum için de sıfıra ulaşmanın, tanımsızlığa ulaşmak gibi sıra dışı bir durum olduğunu gördük. O zaman burada düşünülmesi ve karara bağlanması gereken iki husus var: Ya birinci senaryoyu doğru kabul edip, yokluk kavramının konumda bir varlığı gösteren sıfır ile temsil edildiğini ve tanımsızlığın da buradan kaynaklandığını kabul edeceğiz. Ya da ikinci senaryoyu doğru kabul edip, yokluk kavramının matematikte bir karşılığı olmadığını ve sıfırın sadece konum gösterdiğini ve tanımsızlığın da konum gösteren bir sayıyla miktar işlemi yapmaktan kaynaklandığını kabul edeceğiz. Böyle bakınca ikinci senaryo daha kabul edilebilir geliyor. Ama iki durum için de gördüğümüz şey çarpma ve bölme yani miktar işlemleri yaparken sıfır ile karşılaşmamız gerektiği… O zaman şu soruyu soralım: Nasıl oluyor da biz aynı işlem kümesinde hem miktar hem de konum değerleri ile karşılaşma gibi bir durum ile karşı karşıya kalıyoruz? Bu soruya cevap olarak fonksiyon grafiği ile yaptığımız belirli integral hesabını gösterebiliriz. Bu da ikinci senaryo ile bağlantılı bir konudur. Matematiksel bir bağıntının gösterimini fonksiyon grafiği ile yaparken aslında konum değerleri ile miktar işlemi yapmaya kalkmış oluyoruz. İşte eğer burada sıfırdan başlayan ve değişkenin bölüm olarak yer aldığı bir fonksiyon ifadesi varsa, işler içinden çıkılmaz bir noktaya geliyor. Eğer matematik evrenin işleyişinin açıklanmasında kullanılan dil ise ve matematiğin tasarımında bir hata var ise, bunun sonucunda fiziksel evrende olmayan şeyler matematiksel olarak karşımıza çıkıyor olmalı. İşte bunun için somut bir örnek verelim son olarak. Hatırlarsanız fizik serisi için hazırladığımız Kuvvet – İş – Güç – Enerji videosunda kütleli bir cismin yarattığı potansiyel enerji formülünü çıkarırken o potansiyel enerjiden etkilenecek cismi sonsuza koyduk. Böylece sonsuz noktasından belli bir r noktasına kadar alınan yolda yapılan işi hesapladık. Neden hesabı sonsuzdan başlayarak yaptık da kütle merkezinden başlayarak yapmadık? Burada kütle merkezini referans alsak ne olur? O zaman türev integral hesabının temel teoremine göre bu belirli integrali hesaplamaya kalktığımızda işlemde sıfır bölen olarak gelecek ve sonuç tanımsız çıkacak. Fiziksel evrende tanımsız bir şey mi bu yapmaya çalıştığımız? Tabi ki de değil. Eğer bölüm olarak gelen sıfırı limit değer olarak alırsak bu sefer sonuç sonsuza gidecek. O zaman enerji sonsuz çıkacak. Enerjinin aslında kuvvet kavramının skaler gösterimi için türettiğimiz bir kavram olduğunu göz önüne alırsak o zaman herhangi bir kütlenin kütle merkezinde sonsuz kuvvet varmış gibi olacak. Yani buna göre evrendeki her cismin bir karadelik oluşturması lazım. Böyle bir şey oluyor mu evrende? Hayır. Ama matematiksel olarak böyle çıkıyor. Yani fiziksel evreni ifade etmek için kullandığımız dil, fiziksel evrende olmayan bir sonuç veriyor bize. Onunla karşılaşmamak için integralin sınır değerini sıfır değil sonsuz alıyoruz ve bu şekilde tersten hesap etme yoluna gidiyoruz. Fiziksel evrende böyle hatalı bir durum olmadığına göre o zaman matematiğin tasarımında, temelinde bir hata var demektir. Bu sadece müfredat hatası değildir. Dediğimiz gibi, hata integral ile miktar hesabında grafik kullanımından kaynaklanmaktadır. Grafiği çizerken bir yeri referans noktası olarak belirleyip, sıfır atadığımızdan, miktar işlemini konum değerleri üzerinden hesaplamaya çalışmış oluyoruz aslında. Sıfır harici sayılarla bir sorun olmuyor hatta az önce anlattığımız gibi sıfır ile çarpma için de sorun olmuyor. Ama böyle olması matematiğin tasarımındaki hatayı gizleyemiyor. Sıfır ile bölme durumu ile karşılaştığımızda cevapsız bir sorunla yüzleşmek zorunda kalıyoruz. Tüm bunları göz önüne aldığımızda matematiğin tasarımı üzerine tartışılması ve kesin bir sonuca bağlanması gereken 3 soru ile baş başa kalıyoruz: Birinci soru: Yokluk kavramının miktar olarak bir ifadesi olmalı? İkinci soru: Eğer olmalı derseniz bunu konumda bir varlığı gösteren sıfır ile simgeleştirmek doğru mu? Üçüncü soru: Eğer ki, yokluğun matematiksel bir simgesi olmamalı ve sıfır sadece konum göstermeli dersek(ki bence böyle olmalı), ve eğer integral alma çarpma bölme işlemlerini de beraberinde getiriyorsa, integralin sınır değerini sıfır olarak belirlememeyi nasıl başarılabiliriz? Calculus’un temel teoremi olan belirli integral kuralını değiştirmek yeterli olur mu?