Tip:
Highlight text to annotate it
X
Kordinat düzleminde A=(0,0) ve B=(b,2) noktalarımız olsun.
ABCDEFG de eşkenar, dışbükey bir altıgen olsun.
Dışbükey, içbükey olmayan anlamına geliyor. İçbükey bir altıgen şu şekilde olur.
Bu iki kenarı, üç, dört, beş, altı
İçbükey bir altıgen bu.
Bu kısmı dışarıya doğru olacak ve tüm kenarları eşit olacak.
.
İşte bu eşkenar bir altıgen.
Düzgün bir altıgen olup olmadığını söylemiyorlar.
O yüzden tüm açıların aynı olup olmayacağını bilmiyoruz.
Fakat tüm bu kenarlar eşit olacak.
Bunun dışında, bazı kenarların birbirine paralel olduğu bilgisini vermişler.
Ve köşelerinin y-kordinatları 0,2,4,6,8,10 kümesinin belirgin elemanları.
.
Altıgenin alanı m karekök n.
m ve n positive tam sayılar.
Ve n hiçbir asal sayının karesiyle bölünemez.
Bu köklü ifadenin en sade biçiminde yazılmış olduğunu söylemenin daha cafcaflı bir yolu.
.
m artı n yi bulunuz.
İlk olarak, altıgenin neye benzeyeceğine bir bakalım.
.
bi köşenin (0,0) olduğunu biliyoruz.
Şimdi x eksenini çizeyim.
ve bu da y ekseni.
y ekseni, biliyoruz ki tepe noktası A (0,0) noktasında.
Bu tepe noktası A.
Şimdi biliyoruz ki tepe noktasının y koordinatı 0,2,4,6,8 veya 10 olacak.
Ve bunlar kümenin belirgin elemanları olmalı.
.
Herhangi iki tepe noktasının aynı y-koordinatını paylaşmadığı anlamına geliyor bu.
Aynı yatay eksende olmayacaklar.
Şimdi söylediklerimi doğruda göstereyim.
x ekseni sıfırken, y=2 ; sonra y=4, 6, 8, 10.
.
.
.
Şimdi Byi zaten biliyoruz.
Sıfırı A için kullandık.
B'nin 2yi kullandığı söylenmiş, yani Bnin y koordinatı 2.
B'nin y-koordinatı 2.
Bu bilgiyi kullanarak Byi buraya çizelim.
.
Altıgenin köşesi s kadar.
Uzunluğunu tam bilmiyoruz ama tüm köşelerinin aynı olduğunu biliyoruz.
Buraya s diyelim.
Eşkenar altıgen olduğunu bilmem düşünmeme yardımcı olabilir.
Bütün kenarlar eşit olacak.
.
(b, 2) noktasına geleceğiz.
b nin ne olduğunu bilmiyoruz ama bu tepe noktamız, B.
F de A ile birleşen öbüt tepe noktası.
F bu yatay düzlemde olamaz, y eşittir ikide bulunamaz.
y eşittir altıda da bulunamaz.
Çünkü aradaki medafe çok fazla olur.
Bariz bir şekilde buradaki mesafeden çok daha fazla.
.
Gerçek bir dışbükey altıgen çizmeniz mümkün olmaz.
o yüzden y, bir sonraki uç noktası, bu yatay düzlemde, s kadar uzaklıkta olmalı.
.
Bu şekilde, s kadar uzakta bir şey olacak.
.
Şimdi, bu bir sonraki tepe noktası, yani F.
ABCDEF diye gittiğimiz için sonra A ve F art arda.
Pekala. Şimdi C noktasına gelelim.
Tepe noktası C, 4 yatak düzlemde olamaz.
Yani, 6 yatak düzlemde olması gerekecek.
C şöyle bi yerde olacak.
İşte bu köşe noktası C.
Bir kere daha, uzunluk s, bu uzunluk da s.
Peki ya köşe noktası E?
C yatay düzlem aldığı için, orada olamaz.
Toplamda, 4 ve 6 alındı.
Yani E, sekizde olmalı.
Bunun da uzunluğu s.
Bildiğimiz bir başka şey, orijine gittiğimiz.
Köşe noktası E tam burada.
Orijine gittiğini biliyoruz.
.
y'yi kestiği noktada olacak çünkü biliyoruz ki bu uzunluk s.
.
Ve bu uzunluk da s,
ve iki köşegen de aynı dikey uzunlukta olmalı.
Bu taban 4.
Görüyorsunuz ki 2 tane düzgün üçgen var.
İkisinin de tabanı 4 ve hipotenüsü s.
Burada aynı köşeyi paylaşıyorlar.
Bu sola gidiyor, bu ise aynı mesafeyi geri dönecek.
.
Aynı mantıkla, buradakinin geri gelmesi gerekiyor.
.
Artık 10 kordinatını kullanabiliriz.
10un y kordinatı D için kullanmadığımız tek kordinat.
.
.
Köşegen uzunluklarımız ise s,
4 birim yukarı gidiyor.
AYnı mantıkla, uzunluğu s olan bir köşegenimiz var.
4 birim yukarı kaydı ve bu kadar yok almış oldu.
Şimdi öbür yöne doğru gidiyoruz ve 4 birim yol ilerliyorux.
Aynı yönden geri döneceğiz.
Yani tam Bnin üstüne gelecek.
Yani D'nin kordinatı b virgül 10 olacak.
y kordinatı 10.
Ve işte altıgenimiz.
Asıl altıgenle işimiz bitti.
Ve verdikleri paralel doğru bilgisi bize AB'nin DE'ye paralel olduğunu söylüyor.
.
AB'nin DE'ye paralel olması şekilde bariz bir şekilde görülüyor.
BC, EF'ye paralel.
.
Ve soru diyor ki, CD FA'ya paralel.
Çizdiğimiz şekilden de bu paralellikleri görebiliriz.
.
Şimdi, alanı belirledik.
Altıgenin alanını belirledik.
İyi bir başlangıç yaptık gibi duruyor.
s nin değerini bulacağız.
Bunu yapmak ne kadar eğilimli olduğumuza bağlı.
.
.
Şimdi çizelim, görüyorsunuz ki bu bir eşkenar altıgen.
Gerçi bu biraz eğrilmiş, çarpıtılmış ama tüm kenarlarının uzunluğu eşit.
.
Buraya teta diyelim.
Buradaki açı teta.
Soruda FABnin 120 derece olduğu söylenmiş.
FAB 120 derece.
Burası 120 derece.
Burada soldaki açı 180 eksi 120 eksi teta olacak.
..
180 eksi 120, 60 ediyor.
Buradaki açı 60 eksi teta.
Bunu yapmamın sebebi elimizdeki bilgiler.
Buranın 4 birim yukarda olduğunu biliyoruz.
Buranın da 2 birim.
Bu bilgiyi s i bulmak için kullanaibliriz belki.
Çünkü s buradaki yeni oluşturduğum dik üçgenlerin ikisinin de hipotenüsü
Şuraya çiziyim.
Buradaki dik üçgeni şu şekilde çizebilirim.
Elimde s var, teta var ve 2 dik üçgen var.
.
Bu dik üçgen buna benziyor.
Şu şekilde.
Bu açı 60 eksi teta.
Buradaki yükseklik ise 4.
Şimdi s'i bulmak için ne y apabileceğimize bir bakalım.
Sağdaki ya da soldaki üçgen bize şunu anatıyor:
Eğer tetanın sinüsünü alırsak, yani tetanın karşısı bölü hipotenüs, o da 2 bölü s.
.
.
.
Unutmayın ki buradaki hipotenüs de s, 60 eksi tetanın sinüsü.
.
60 eksi teta 4 bölü s e eşit.
Eğer bunları birbirine eşitlemek istiyorsanız, iki köşesini de çarpabiliriz.
.
Gördüğünüz gibi, iki sinüs teta 4 bölü s e eşit.
60 eksi tetanın sinüsü de 4 bölü s e eşit.
İkisini birbirine eşitleriz.
Elimizde iki sin teta var, 2.
Bu da 60 eksi tetaya eşit.
.
Bildiğimiz trigonometrik eşitlikleri kullanacağız şimdi.
Biliyoruz ki a eksi b nin sinüsü, sinüs a çarpı kosinüs b
.
.
Ya da bu durumda teta demeliyim.
Yani, sinüs 60 çarpı cosinüs teta eksi cosinüs 60 çarpı sinüt teta eşittir iki sinüs teta
standart bir trigonometrik özdeşlik bu
Bir toplama ve çıkartma özdeşliği.
.
.
.
2 sinüs teta. sinüs 60 derece.
Bu 3 üzeri ikinin kare kökü.
.
cosinüs 60 derece bir yarısı.
Yani her iki tarafa da yarım sin teta ekleyebiliriz.
.
bir bölü iki sin teta ekliyoruz...
Buradaki gidiyor.
Ve şimdi bir bölü iki sin tetayı 2sin tetaya ekleyelim.
4 bölü sin teta yapıyor aslında.
5 bölü sin teta olacak.
şimdi bir bölü iki sin teta ekleyelim, ve 5 yapıyor.
5 bölü sin teta eşittir 3 üzeri 2 cosinüs teta.
.
3 üzeri 2 cosinüs teta.
değil mi? iki tarafa da bir bölü iki teta ekledim ki bunu elde edeyim.
Ve iki tarafı da sadeleştirmek için iki ile çarptım.
Şimdi elimde 5 sin teta var.
5 sin teta eşittir 3 cos tetanın kökü.
Şimdi sin teta kare artı cos teta kare eşittir bir özdeşliğini kullanacağım.
.
İki tarafında karesini alalım.
Bu şekilde burdaki radikalden de kurtulabiliriz.
25 sin kare teta eşittir, kök üçün karesi üç çarpı, kos kare teta yazmak yerine bir eksi sinüs kare teta.
.
.
.
kos kare teta eşitti bir eksi sin kare teta.
İki tarafında karesini aldım yalnızca.
.
Tek yaptığım, iki tarafın da karasini almak.
Bu şekilde elimizde 25 sin kare teta eşittir üç eksi üç çarpı sin kare teta var.
İki tarafa da üç sin kare ekleyebilirim.
28 sin kare teta eşittir üç oluyor.
Veya, sin kare teta eşittir üç bölü 28.
Hatta, sin teta eşittir kök içinde üç bölü 28.
.
.
Bu ifadeyi sadeleştirebiliriz.
28 yedinin dört katı, kökten kurtarılabilir.
Ama bu şekilde iyi şimdi
İleride daha kolay işlem yapılabilir hale gelmesi için sadeleştirebiliriz belki.
.
Şimdi bakalım, burada sin tetamız var.
Bunu s ile ilişkilendirebiliriz.
Ben işleri böyle karıştırmadan önce biliyoruz ki sin teta eşittir iki bölü s
.
Veya s bölü 2 eşittir bir bölü sin teta.
veya s eşittir iki bölü sin teta.
Sin tetanın ne olduğunu biliyoruz.
sin teta eşittir kök içinde üç bölü 28.
Yani s eşittir iki bölü sin teta.
Sin tetanın tersiyle çarpıyormuş gibi.
yani, iki çarpı kök içinde 28 bölü üç.
s'in ne olduğunu bulduk.
Buradaki şeyein iki katı.
s değerini öğrendiğimize göre bakalım alanı nasıl bulabiliriz.
göze çarpan ilk şey buradaki üçgen.
.
Üçgenin yüksekliği var, ya da tabana demeliyim belki.
yandan bakacak olursanız, tabanı sekiz.
.
ve buradaki uzunluğu bulabilmeliyiz.
Pisagor teoremini kullanarak bu uzunluğu bulabiliriz.
biliyoruz ki buradaki uzunluk dört.
Bu uzunluk dört.
hipotenüs s.
buradakine de yükseklik diyebiliriz, h.
.
h kare artı dördün karesi on altı eşittir hipotenüsün, s'in karesi.
.
burada s nin değerini bulmuştuk.
Yani s nin karesi eşittir dört çarpı 28 bölü iç.
dört çarpı 28 bölü üç.
iki taraftan da on altı çıkartıyoruz.
h eşittir dört çarpı 28 bölü üç eksi 16 çarpı bir şey bölü üç şeklinde yazmak istiyorumyani 48 bölü üç.
.
.
.
.
.
28i dört ile çarpmak istemiyorum.
48i dört çarpı on iki şeklinde yazabilirsiniz.
pay, dört çarpı 28 eksi on iki bölü üç.
bu aslında h kare olmalı,
.
h kare eşittir dört çarpı 28 eksi on iki bölü üç.
.
Bu da, dört çarpı on altı bölü üçe eşit.
Bu da, 64 bölü üçe eşit.
Bu, h kare. Yani h eşittir sekiz bölü kök üç olacak.
.
.
Tüm şeklin alanını bulmak için, önce buradaki küçük alanın bulmalıyım.
.
h çarpı dört bölü buranın alanını verir.
.
.
.
.
Buraya maviyle çizeyim. Bu üçgenin alanı h yani sekiz bölü kök üç çarpı dört bölü iki.
.
.
.
Buradaki üçgenin alanı iki çarpı sekiz bölü kök üç.
O da, on altı bölü kök üç.
Yani buranın alanı on altı bölü kök üç.
.
Bunlardan bir demet var.
Buradakaki ve buradakinin alanları da aynı olacak.
.
Ve buradakinin de.
Hepsinin alanları aynı.
Aynı mantık, aynı taban, aynı yükseklik.
Bunlar eş üçgenler.
Bu eş üçgenlerden dört tane var.
Yani taralı alanların toplamına ulaşmak için 28 bölü kök üçü dört ile çarpacağız.
.
.
.
Bu taralı alanlar 64 bölü kök üç ediyor.
Kalan alan, buradaki paralel kenarın alanı.
.
Bu ortadaki paralel kenarın alanını henüz bilmiyoruz.
Parelel kenarın tabanının sekiz olduğunu biliyoruz.
.
.
Bulmamız gereken, paralel kenarın yüksekliği.
.
Burada da pisagor teoremini kullanabiliriz.
Buraya da h diyeceğim ama hatırlayacağınız gibi daha önce başka bir yüksekliğe de h demiştim.
Bu h lar birbirinden farklı.
.Ayn yükseklik değiller.
Buradaki tabanın uzunluğu iki.
Şimdi okumaıs biraz zorlaştı.
.
h kare artı dört, ikinin karesi, eşittir s nin karesi diyebiliriz.
.
s nin karesinin neye eşit olduğunu daha önce bulmuştuk.
s'nin karesi dört çarpı 28 bölü üçe eşit.
dört çarpı yirmi sekiz bölü üç.
iki taraftan da dört çıkartalım.
dördü çıkartalım yani eksi on iki bölü üç.
on iki eşittir dört çarpı üç.
Yani burası dört çarpı 28 eksi üçe eşit oldu.
.
burası dört çarpı 25 bölü üç.
Bu da 100 bölü üçe eşit.
Yani h eşittir kök içinde 100 bölü üç.
Bu da on bölü kök üç yapıyot.
Burası on bölü kök üç.
Bu uzunluğun on bölü kök üç olduğunu bulduk.
Bu paralel kenarın uzunluğu h çarpı paralel kenarın tabanı,
.
sekiz çarpı on kök üç, seksen kök üç.
.
.
Ups, daha dikkatli olmalıyım.
Yanlış oldu.
.
.
Tüm paralel kenarın alanı sekiz çarpı on bölü kök üç.
.
Yani 80 bölü kök üç.
Tüm alanı bulmak için elimizdeki bütün değerleri toplayacağız.
.
Bu üçgenlerden 64 kök üç geliyor.
Artı seksen bölü kök üç.
İkisini toplayalım.
paralel kenarın 80 bölü kök üçü artı üçgenlerin 64 bölü kök üçü eşitti 144 bölü kök üç.
.
.
paydayı rasyonel sayı haline getirebiliriz
yani çarpı kök üç bölü kök üç.
Paydada üçümüz olacak.
144 bölü üç ne olacak, 48 mi?
.
üç çarpı kırk 120 yapıyor.
üç çarpı sekiz 24 yapıyor.
Yanievet 48 kök üç tüm altıgenin alanı.
.
48 kök üç formu var elimizde.
m artı n i bulmak için 48 artı üç yapacağız.
Bu da 51 yapıyor.
Yorucu bir soruydu.
Beynim sonuna doğru ayncan gibi oldu işlemleri zor takip etitm.
Umarum beğenmişsinizdir.