Tip:
Highlight text to annotate it
X
Bir önceki videoda tesadüfi değişkenin beklenen değeri
konusuna değindik ve gördük ki aslında popülasyon
ortalamasıyla aynı şeydir.
Tesadüfi değişkende popülasyon sonsuz olduğu için
tüm terimleri toplayıp sonra da averajını alamazsınız.
-
Dersiniz ki tamam bu terimler belli bir sıklıkta çıkıyor
onun için olasılık ağırlıklı toplam alırsınız.
-
Bir önceki videoda bunun herşeyi toplayıp sonra da
rakkam sayısına bölmek olduğunu ama bu metodun
sonsuz sayıda rakkamla çalıştığını ve bu rakkamların
tesadüfi değişkenin ait olduğu sonsuz popülasyondan
geldiğini öğrendik.
Tesadüfi değişkenimizi oluşturan deneyi devamlı olarak
yapabiliriz.
Ve sonra da incelediğimiz binom dağılımlarda
beklenen değeri hesapladık,özellikle de para atmakla ilgili olanı.
-
Bu videoda ortalama için genel bir formül bulacağız.
ya da diğer bir deyişle binom dağılımın beklenen değeri için
-
O zaman diyelim ki tesadüfi değişkenimiz x eşittir
n sayıda denemeden sonra p olasılıkla kazanacağımız
başarı sayısı olsun.
-
Burda biraz genelleme yaptım.
Demek istediğim tura atma başarım diyebilirdim ki
bunun 10 atış ta 0.5 olasılığı var.
Bu da aynı şey sadece biraz genelleme yapıyorum.
-
Şimdi de beklenen değeri bulacağız.
-
Eğer bu değişken için olasılık dağılımını
bulursak bunun bir binom dağılımı olduğunu ve biraz da
çan eğrisine benzediğini görürüz.
-
Bu çan eğrilerini daha sonra çalışıcağız.
Size göstermeden önce cevabını vereceğim.
-
Çünkü cevap biraz sezgisel.
-
Bu tesadüfi değişkenin beklenen değeri eşittir n çarpı p
ya da bazılarının yazdığı gibi p çarpı n.
Bunu sizin için biraz daha elle tutulur yapayım.
Evet diyelim ki x eşittir-- bunu farklı bir renkte yapayım--
x eşittir benim attığım basket sayısı.
Tabi basketboldan bahsediyorum sepet örmekten değil.
x eşittir on atıştan sonra yaptığım basket sayısı olsun.
Ve benim bir basket atma olasılığım % 40 olsun.
On atıştan sonra yapacağım basket sayısının beklenen
değeri ...
On atıştan sonra yapacağım basket sayısının beklenen
değeri --bu arada basket atma olasılığım % 40 olsun--
eşittir attığım basket sayısı ile olasılığının çarpımıdır.
-
O zaman olasılık ile basket sayısını çarparız ve bunun da
4 e eşit olması lazım.
Ben söyledim biliyorum ama beklenen değeri yapmayı
beklediğiniz basket sayısı ile karıştırmayın çünkü
bu olasılık dağılımları bazen bi garip olur.
-
Ama binom dağılımlarda böyle düşünebilirsiniz.
-
Bunun yapmayı düşündüğünüz basket sayısı olduğunu.
ya da en beklenen sonuç olduğunu.
Eğer basket yapma şansınız % 40 ise ve on atış yaptıysanız
en çıkması muhtemel sonuç 4 dür.
Siz yine de altı basket ya da üç basket yapabilirsiniz ama
en olası sonuç dörttür.
Ve düşününce de insanın içine doğan,sezgisel anlamda
şu oluyor-- her atışta % 40 basket yapma şansınız var.
-
Diyebiliriz ki her seferinde bir atışın % 40 ını yaparsanız
on atış sonunda 4 tam basket yapmış olursunuz.
Bu da bir başka düşünme tarzı.
-
Şimdi binom dağılımla ifade edilen tesadüfi değişkenler
için bunun doğru olduğunu ispat edelim.
-
Binom dağılımda olasılığı nedir?
Diyorum ki X eşittir k nın olasılığı nedir?
Bazen işlerin karışık olduğunu biliyorum.
Ama diyorumki mesela bu basketbol benzetmesinde
olasılık nedir?
Hangi olasılıkla yaptığım basket sayısı---
k eşittir 3 basket ya da onun gibi birşey.
Bizim konuştuğumuz da bu.
Ve öğrendiğimize göre n tane atış yapıyorsak bunun
k tanesi basket olacak.
Bunu son birkaç videoda yaptık.
Ve sonra her bir sonucu ona ait olasılıkla çarparız.
-
O zaman k basket yaparsam benim bir basket yapma
olasılığım-- ki bu p dir-- p nin k kuvvetidir.
p yi k kere kendisiyle çarpmak.
Bu benim k tane basket yapma olasılığımdır.
Geriye kalanları kaçırmam gerekiyor.
Kaçırmanın olasılığı 1 eksi p dir.
Ve sonra kaç atış?
Eğer k kadar basket yaptıysam,geriye kalan atışları da
kaçırdım demektir.n eksi k kadar atışı kaçırdım.
Her binom dağılımda k kadar basket yapmanın
olasılığı budur.
Biliyoruz ki bir tesadüfi değişkenin beklenen değerini
bulmak için olasılık ağırlıklı toplam alırız.
-
Aklınızı fazla karıştırmak istemiyorum bu videodan birtek
bunu öğrenseniz yeter.
İyı hissedebilirsiniz.
Şimdi biraz daha teknik olucam ama bu sizi sigma
ve toplam işaretiyle daha aşina yapacak umarım.
-
Sizi binom katsayılarına da alıştıracak.
-
Eğer geriye dönersek beklenen değer eşittir bunlardan
her birinin olasılık ağırlıklı ortalamasıdır.
Yapmak istediğimiz X eşittir k nın olasılığını almak
ve bunu k ile çarptıktan sonra tüm olasılıklar için yapıp
toplamını almaktır.
Bunu nasıl yapabilirim?
O zaman binom dağılımla tanımlanan değişkenimizin
beklenen değeri bu toplama eşittir.
-
-
Ve k nın alabileceği tüm değerleri toplayacağız.
k sıfırdan başlayabilir o zaman basketbolda hiç basket
yapmamışım demektir--ta ki k eşittir n ye kadar ki bu da n atış yapmışım demektir.
Her biri için k ile çarpmak istiyorsun, o zaman
k basket yaptıysam bunu k basket y apmanın olasılığı
ile çarparım.
K kadar basket yapma olasılığım neydi?
Burdaki bu sayıydı.
k çarpı n den k seç , çarpı p nin k kuvveti, çarpı bir eksi p nin
n eksi k kuvveti.
Şimdi biraz cebir yapıcağız biraz toplama cebiri
diyebiliriz.
İlk sadeleştirmemiz şu olacak.k eşittir sıfırdan k eşittir
n ye kadar toplama yapıyoruz
O zaman ilk terimde k eşittir sıfır olacak.
O zaman ilk terim de sıfır olacak.
k sıfır olunca bütün bunlar sıfır olacak o zaman da
k eşittir sıfır terimi toplama birşey katmayacak.
çünkü bunların hepsi sıfır olacak.
Bunu yazayım çünkü--bu toplam şu şekilde yazılabilir--
0 çarpı n den 0 seç, çarpı p nin sıfırıncı kuvveti, çarpı
1 eksi p nin n eksi 0 ıncı kuvveti
artı 1 çarpı n den 1 seç çarpı pnin birinci kuvveti çarpı
1 eksi p nin n eksi 1 inci kuvveti.
Ve böyle toplamaya devam edersiniz ta ki
k eşittir n olana kadar.
O zaman n çarpı, n den n seç ,çarpı, p nin n kuvveti çarpı
1 eksi p nin n eksi n kuvveti son terim olur.
Bu burdaki toplamı yazmanın bir başka şekli.
Biraz önce söylediğim bu ilk terim ki bu terim oluyor
sıfıra eşit olacak çünkü k eşittir 0.
0 çarpı herhangi birşey eşittir 0.
Onun için o terimi gözardı eder ve toplamı yeniden
burdaki gibi yazarız.
-
O zaman bunu yeniden yazacaksak burdaki yukardaki bu
şeyi yeniden yazarız.
Tesadüfi değişkenimizin beklenen değeri bu toplama
eşittir.
Ve k eşittir 0 dan başlamasak da olur
k eşittir 1 den başlarız.
K eşittir 1 den n ye kadar aynı şeyi yaparız. k çarpı,
n den k seç çarpı, p nin k kuvveti ,çarpı 1 eksi p nin n eksi k kuvveti
Şimdi ne yapabiliriz bakalım
Şimdiye kadar yaptığımız tek şey ilk terimden kurtulmaktı.
Bu taktiği kullanarak sadeleştirme yapıp sonunda
istediğimiz sonuca ulaşacağız.
Binom katsayısını yazıp ne yapabiliriz bakalım.
-
Şuna bakın.
-
-
Evet nerdeydik?
Tamam o zaman bu eşittir--- sadece binom katsayısını
yazacağım.
k eşittir birden k eşittir n yekadar.
k çarpı--burası n faktoryel bölü k faktoryel
bölü n eksi k faktoryel.
çarpı p nin k kuvveti, çarpı bir eksi p nin n eksi k kuvveti.
Burda biraz sadeleştirme yapalım.
k bölü k faktoryel nedir?
Belki farklı bir şekilde y azabiliriz. k faktoryel eşittir
k eksi bir çarpı k eksi iki diye gider taki bire gelene kadar.
-
Bu k faktoryel oluyor.
O zaman k faktoryel eşittir k çarpı k eksi bir faktoryel.
K çarpı k dan bir küçük sayı çarpı onun altındaki bütün
sayılar.
O zaman yazayım.
Bunu tekrar yazarsak k çarpı k eksi 1faktoryel diyebiliriz.
Böyle yapmamın nedeni bu k ile bu k yı sadeleştirebiliriz.
-
Bunu sadeleştirirsem herşeyi baştan yazmam gerekiyor.
-
Sadeleştirmeyi yaptıktan sonra kalan eşittir
k eşit bir den k eşit n ye kadar olan toplamdır.Bu toplamın
içindekiler n faktoryel bölü k eksi bir faktoryel
çarpı n eksi k faktoryel çarpı p nin k kuvveti çarpı 1 eksi
p nin n eksi k kuvveti.
Bir sadeleştirme daha yapalım.
Şimdi yapmak istediğim şu---nereye varmak istediğimi biraz
anladınız herhalde di mi?
Bu n eksi p ye sadeleşir.
Bakalım n eksi p yi dışarı alabilir miyiz ve sonra da geriye
kalan herşeyi 1 yapabilir miyiz? O zaman işimiz biter.
-
Aynı taktiği kullanarak n faktoryeli yeniden yazabiliriz.
n faktoryel eşittir n çarpı n eksi bir faktoryel .
-
Ve p nin k kuvveti ni p çarpı p nin k eksi bir kuvveti olarak
yazabiliriz.
Ve sonra bu n yi ve bu p y i dışarı alırız o zaman
terim np çarpı k eşittir birden k eşittir n ye kadar olan toplam
---neyin toplamı bakalım...
n ve p yi dışarı aldık.
n eksi 1 faktoryel bölü k eksi 1 faktoryel çarpı
n eksi k faktoryel.
çarpı p nin k eksi 1 kuvveti.
Bu paydada değil.
Bu çarpı 1 eksi p nin n eksi k kuvveti.
Ve yaklaştık.
Hatırlarsanız sonucun şöyle olmasını istemiştik--
Değişkenimizin beklenen değeri
şuna eşit olmalı.
Eğer burdaki bu şeyin bire eşit olduğunu gösterirsek
işimiz bitti demektir.
Bunu yapabilmek için sadeleştiren bir yerine koyma yapacağım.
Mesela diyelim ki
-a eşittir k eksi bir.
Ve b eşittir n eksi bir.
o zaman n eksi k neye eşittir?
bakalım
Eğer a eşittir k eksi bir ise o zaman a artı 1 eşittir k.
ve burda da b artı 1 eşittir n .O zaman n eksi
k eşittir a artı 1 eksi bu.
eksi b eksi 1 ,bunlar sadeleşir.
Burası a eksi b olur.
Bunu sadeleştirebilir miyim bakalım?
Bütün bu toplam eşittir np çarpı toplam
k eşittir 1 iken a neye eşittir?
-
a eşittir 0.
k eşittir n ise
a neye eşittir?
Bu n ye eşitse ,eğer k nin değeri n ise, o zaman a
n eksi 1 olur.
a eşittir a dan a eşittir n eksi 1 e kadar
ama n eksi 1 ile b aynıdır.
O zaman burdaki toplamı yeniden yazarız.
Bu her zaman biraz karışık oluyor.
Bu konuda durup biraz düşünmek isteyebilirsiniz.
Ama az vaktim kaldı onun için ben anlatmaya devam
edicem.
b eşittir n eksi 1
o zaman burası b faktoryel bölü k eksi 1
bunun a ya eşit olduğu tanımını yapmıştık.
o zaman burası a faktoryel oluyor.
ve burada n eksi k eşittir a
biliyor musunuz ne?
bunun tersini aldım.n eksi tamam b eksi a olmalı.
n eksi k--- tamam
n eşittir b artı 1 o zaman burası b artı 1 eksi a artı 1
eksi a, eksi 1.
1 ler sadeleşir ve b eksi a kalır.
ve n eksi k , b eksi a faktoryel olur.
ve p nin k eksi 1 kuvveti---k eksi 1 p nin a kuvveti olur.
çarpı 1 eksi p nin n eksi k kuvveti.
Daha önce gösterdik ki n eksi k ile b eksi a aynıdır.
-
ve burda,nerdeyse bitmek üzereyiz---
burdaki ,nedir bu?
Bu bir olasılıktır --- biraz daha basit şekilde yazayım.
-
Burası eşittir np çarpı a eşittir 0 dan a eşittir b ye kadar
olan toplam.Bu nedir?
bu b den a seç dir.
Elimde b kadar şey var ve içinden a seçicem.
ne kadar değişik yoldan yapabilirim---çarpı p nin a kuvveti
çarpı 1 eksi p nin b eksi a kuvveti.
Burdaki nedir?
Binom dağılımın her terimini alıyorsun demektir.
-
Diyorsun ki a eşittir 0 iken olasılık nedir?
-
Bu her bir a için olasılıktır di mi ?
ve bütün bu a ların toplamını alıyorsun.
Ve şöyle acele tarafından bir dağılım çizersek ,
a eşittir 0 için bir olasılık var,
Ve sonra a eşittir 1 için bir başka olasılık ve böyle daha da
yüksek değerlere gider.
Bu çan dağılıma benziyor,onun gibi birşey.
Burdaki b u terim bunlardan her biridir.
Bu kutulardan her biri bu terimlerden birini temsil ediyor.
a eşittir 0 ise bu terim.
a eşittir 1 ise bu terim.
a eşittir 2 ise bu terim ve b şekilde a eşittir b ye kadar gider.
ve bunların toplamını alıyoruz, tüm olasılıkları topluyoruz.
-
Tesadüfi değişkenimizin alabileceği tüm değerleri topluyoruz.
-
Değişenimizin alabileceği tüm değerleri bulup bunların
toplamını alırsak bu toplam 1 olacaktır.
-
Bu turanın olasılığı ile yazının olasılığını toplamaya benzer.
-
Ya da diyebilirsiniz ki para atma benzetmesinde
bu bir turanın olasılığı artı 2 turanın olasılığı artı
3 turanın olasılığı artı 4 turanın ta ki b turaya gelene kadar.
-
-
Bu olabilecek her durum demektir.
Bu tüm olasılık dağılımının toplamıdır onun için de
1 e eşit olacak.
Ve geriye kalan tesadüfi değişkenimiz X eşittir n çarpı p.
-
Burda n deneme sayısı p ise her bir denemedeki
başarı olasılığıdır.
Ve bu sadece binom dağılımlar için geçerlidir.
Tüm değişkenlere uymaz.
Sadece olasılık dağılımı binom dağılım olan değişkenler
için geçerlidir.
Neyse vaktim kalmadı.
Bir sonraki videoda görüşmek üzere.