Tip:
Highlight text to annotate it
X
Çok korkutucu görünen bir belirsiz integralle, Pi bölü x çarpı x'in doğal logaritması d x'in integraliyle karşı karşıyayız.
-
Bunu nasıl çözebiliriz?
Burada u yerine koyma yöntemini kullanabilir miyiz?
Bu yöntem için bir ifade ve onun türevini arıyoruz.
x'in doğal logaritmasına u dersem ne olur?
Bu durumda d u ne olur?
d u, x'in doğal logaritmasının x'e göre türevidir, bu da 1 bölü x d x.
-
Bu, d u d x eşittir 1 bölü x'e denktir.
İntegralin içinde 1 bölü x'i nerede görüyoruz?
Saklanmış durumda, paydadaki x'in anlamı 1 bölü x ve bu, d x'le çarpılmış.
-
-
Bu orijinal ifadeyi baştan yazalım ki daha iyi anlayalım.
İlk olarak Pi'yi dışarı alırım.
-
-
-
Pi'yi integralin önüne yazarım.
-
Şimdi önce 1 bölü x'in doğal logaritmasını yazayım.
1 bölü x'in doğal logaritması çarpı 1 bölü x d x.
-
-
Şimdi daha iyi görebiliriz.
Bu ifadeler birbirine denk.
Ama bu şekilde yazdığımda u yerine koyma yöntemini kullanabileceğimizi daha iyi görebiliriz.
-
u'yu x'in doğal logaritması olarak alırız.
Buna göre, d u eşittir 1 bölü x d x.
1 bölü x d x.
d u eşittir 1 bölü x d x.
Bu integrali baştan yazayım.
Pi çarpı 1 bölü u, u, x'in doğal logaritması, çarpı d u'nun belirsiz integrali.
-
-
-
-
-
-
Şimdi bu integral kolaylaşmış oldu.
Bunun terstürevi nedir?
Buna benzer integraller almıştık.
-
Bu, Pi çarpı mutlak değer u'nun doğal logaritmasına eşit olacak.
-
-
-
-
Böylece u'nun eksili değerlerini de kullanabileceğiz.
Mutlak değer u'nun doğal logaritması artı c.
-
Burada bir sabit var, artı c.
-
Neredeyse cevabı bulduk, u yerine x'in doğal logaritmasını yazmamız lazım.
-
Böylece bu güzel görünümlü sonuca ulaşırız.
Bu belirsiz integralin terstürevini Pi çarpı mutlak değer u'nun doğal logaritması olarak bulduk.
-
-
-
-
u, x'in doğal logaritmasına eşittir.
x'in doğal logaritması, sonra da artı c var.
-
-
Başlangıçtan beri bu orijinal ifadenin sadece x'in pozitif değerleri için tanımlı olduğunu varsayabilidik.
-
-
Çünkü burada doğal logaritma alıyoruz ve mutlak değer yok.
-
Yani bunu x'in doğal logaritması olarak bırakabiliriz.
Bu varsayım işe yarar, çünkü x'in doğal logaritmasının negatif olması durumu için, bunun mutlak değerini alıyorum.
-
-
Örneğin 0.5'in doğal logaritması.
-
Neyse, cevabı bulduk.
Çok korkutucu görünen bir ifadenin integralini aldık.
-