Domain of a Function

- Bir fonksiyonun tanım kümesi üzerine olan sunumuma hoş geldiniz. Peki, tanım kümesi nedir? Bir fonksiyonun tanım kümesi ki genellikle tanım kümesi ve görüntü kümesi olarak duyarsınız. Ama bir fonksiyonun tanım kümesi fonksiyona koyabileceğiniz ve geçerli değer veren değerlerin hepsidir. Hadi birkaç örnekle işe başlayalım. Diyelim ki f x x kareye eşit olsun. - Şimdi size bir şey sorayım. x'in hangi değerlerini buraya koyarsak x kare için geçerli bir cevap alırız? Aslında buraya herhangi bir değer, herhangi bir gerçel sayı koyabiliriz O zaman şöyle diyelim tanım kümesi x öyle bir sayıdır ki x elemanıdır gerçel sayıların. Aslında bu yaptığım sırtında çift çizgi olan r sadece gerçel sayılar demek ve sizin gerçel sayılara aşina olduğunuzu düşünüyorum. Evet, bunlar karmaşık sayılar dışında neredeyse bütün sayılar. Ve eğer karmaşık sayıları bilmiyorsanız sorun değil. Şimdilik onlara ihtiyacınız olmayacak. Gerçel sayılar birçok insanın aşina olduğu bütün sayılar, irrasyonel sayılar, aşkın sayılar, kesirli sayılarla beraber bütün bu sayılar gerçel sayılardır. Öyleyse burada x'in tanım kümesi x'in gerçel sayı olduğu bütün değerler. Ve burada biraz geriye doğru yaptığım E ya da ona benzeyen şey sadece x elemanıdır gerçel sayıların demek. Hadi şimdi de biraz değişik bir tane yapalım. - Diyelim ki f x eşittir 1 bölü x kare. Peki, şimdi de aynı şey mi? Hala herhangi bir x değeri koyup geçerli bir cevap alabiliyor muyum? Mesela f sıfır kaç? - f sıfır 1 bölü sıfıra eşit. Peki, 1 bölü sıfır ne? Ne olduğunu bilmiyorum, o halde bu tanımsızdır. - Kimse 1 bölü sıfırı tanımlamaya kalkmamış ve muhtemelen denememişler de.Yani bazıları büyük ihtimalle ne olması gerektiğini düşünmüş, ama 1 bölü sıfır için matematiğin geri kalanı ile tutarlı iyi bir cevap bulamamış. Yani 1 bölü 0 tanımsız. Öyleyse f sıfır tanımsız. Yani sıfır koyduğumuzda f sıfır için geçerli bir cevap alamıyoruz. Öyleyse şöyle diyoruz, tanım kümesi eşittir, bu x'in geçerli olduğu değerlerin kümesini gösteren parantezler. - x hala gerçel sayılar kümesinin bir elemanı fakat sıfır olamıyor. Burada öncekine göre sadece ufak bir değişiklik var. f x x kareye eşit olduğu zaman x herhangi bir gerçel sayıydı. Şimdi ise sıfır dışındaki bütün gerçel sayılardır diyoruz. Bu çizdiğim aynı şeyin gösterimi ve bu parantezler kümeyi belirtiyor. Hadi birkaç tane daha örnek yapalım. Mesela f x, karekök x eksi 3 olsun. Yukarıda paydada sıfır olduğunda fonksiyonun tanımsız olduğunu söylemiştik. Peki, bu fonksiyonda farklı olan ne? Negatif bir sayının karekökünü alabilir miyiz? Sanal ve karmaşık sayıları öğreninceye kadar yapamayız. O halde burada x'e kökün içini negatif yapan değerler hariç bütün değerleri verebiliriz. O zaman x eksi üç büyüktür veya eşittir sıfır, çünkü sıfırın karekökünü alabiliriz o da sıfır çıkar. Eğer x eksi üç büyüktür veya eşittir sıfır ise x büyüktür veya eşittir üç diyebiliriz. Öyleyse buradaki tanım kümemiz x elemanıdır gerçel sayıların ve x büyük eşittir üç olur. - Şimdi birazcık daha zor bir tane yapalım. Eğer f x eşittir karekök x'in mutlak değeri eksi üç dersek, şimdi iş birazcık daha karmaşık hale geldi. Aynı bir önceki örnekteki gibi kökün içindeki ifadenin sıfırdan büyük ya da sıfıra eşit olması gerekiyor. O halde x'in mutlak değeri eksi üç büyük eşittir sıfır. Yani x'in mutlak değeri büyük eşittir üç. Eğer mutlak değer bir ifadeden büyük ya da o ifadeye eşitse, o zaman diyebiliriz ki x küçük eşittir eksi üçe ya da x büyük eşittir üçe. Mantıklı değil mi, çünkü x eksi iki olamaz. Çünkü eksi ikinin mutlak değeri üçten küçük olur. O zaman x eksi üçten küçük olmalıdır. x'in ya eksi üçten daha da küçük bir yerde ya da artı üçten daha büyük bir yerde olması gerekir. Bir kez daha söyleyecek olursak tanım kümemiz, x küçük eşittir eksi üç ya da x büyük eşittir üç olur. Ayrıca x gerçel sayılar kümesinin bir elemanıdır. - - - - - Sanırım anlaşıldı. x sayısı, x küçük eşittir eksi üç ya da x büyük eşittir artı üçü sağlayan bütün. gerçel sayılar olabilir Şimdi bir soru sorayım. Eğer bunun yerine bu ifade paydada olsaydı. Bu yukarıdakinden farklı bir problem. O halde şimdi elimizde bir bölü karekök x'in mutlak değeri eksi üç var. Peki, bu neyi değiştirdi? Paydadaki bu ifadenin, kökün içinin büyük eşittir sıfır olması mümkün mü, hala sıfır olabiliyor mu? Hayır, çünkü karekök sıfır sıfıra eşit ve o zaman payda sıfır oluyor. O zaman problem şu problem ile bunun birleşimi gibi oluyor. Yani elinizde bir bölü karekök x'in mutlak değeri eksi üç olduğunda, bu artık büyük eşittir sıfır değil, sadece büyüktür sıfır, değil mi? Sadece büyüktür sıfır. Çünkü paydada sıfır olamıyor. Eğer sıfırdan büyükse, o zaman üçten büyüktür diyeceğiz ve buradaki eşittir işaretlerinden kurtulmuş olacağım. Bunları iyice sileyim. - - - Şimdi oldu. Aslında yeterince vaktimiz olduğu için bir örnek daha yapabiliriz. - Hepsini siliyim. Tamam. Şimdi diyelim ki x çiftse f x eşittir iki ve x tekse f x eşittir bir bölü x eksi iki çarpı x eksi bir. Peki, şimdi tanım kümesi ne? Koyabileceğimiz geçerli x değerleri hangileri? İki tane durumumuz var. Eğer x çiftse bu durumu kullanıyoruz, yanı f dört eşittir iki çünkü bu durumu kullandık. Ama şu durum x tekse kullanılıyor. Aynı bir önceki örnekteki gibi, ne zaman burası tanımsız oluyor? Payda sıfır olduğu zaman. x ikiye ya da bire eşit olduğunda payda sıfır oluyor, değil mi? Ama bu şart sadece x tek olduğu zaman kullanılıyor. Yani x eşittir iki bu şartı sağlamıyor. Öyleyse sadece x eşittir bir bu şartı sağlayacak. O halde tanım kümesi x elemanıdır tam sayıların ve x eşit değildir bir. Sanırım zamanımızın sonuna geldik. Tanım kümesi problemleri ile iyi eğlenceler. -