Tip:
Highlight text to annotate it
X
36 karttan oluşan bir kağıt oyunu oynanıyor.
İçinde 4 kupa, 4 maça
4 sinek ve 4 tane de karo var. Her takımda 1'den 9'a kadar
numaralandırılmış kartlar var.
Bir el 9 karttan oluşuyor.
Ve bu el oyuncu tarafından
seçiliyor.
**
Kaç tane **
Bir bakalım
36 tane kart var, her takımda 9 tane sayı var
ve 4 tane takım var.
Yani 4 kere 9 eşittir 36.
Kartların 1'den 36'ya kadar olduğunu düşünelim
ve içinden 9 tane seçelim
İlk olarak 9 çizgi çizelim
elimizde 9 kart var
1,2,3,4,5,6,7,8,9
Elime 9 tane kart seçeceğim
Peki seçeceğim ilk kartı
kaç olası kart arasından seçmiş
olacağım?
36 tane kart olduğuna göre, ilk çizgiye yazabileceğimiz
36 tane kart var
bu kart şimdi elimin bir parçası olmuş oldu.
İkinci çizgi için ise,
bir tanesini seçmiş olduğum için
seçebileceğim 35 kart kaldı.
Aynen böyle devam ediyoruz.
üçüncü çizgiye de 34 olası kart kaldı.
Dediğim gibi, sayılar her çizgide düşmeye devam ediyor
33'den 32'ye, sonra sırasıyla 31'e, 30'a, 29'a ve 28'e
O zaman çarpmaya başlayabiliriz. 36 kere 35,
çarpı 34 çarpı 33 çarpı 32 çarpı 31 çarpı 30 çarpı 29
çarpı 28 olası el.
Ama sıralamanın bir önemi yok
mesela elimde 15 olsaydı,
ya da elimde maça 9'lu var diyelim, şuraya yazalım
bir sürü kartım olduğunu düşünelim
İki elim var diyelim, bu birincisi
bir de ikinci bir elim var
1,2,3,4
5,6,7,8
maçanın yanında 8 kağıdım daha var
ikinci elimde ise 1,2,3,4,5
6,7,8 kağıdım ve bir de maça 9'um var.
Bu iki eli iki farklı el olarak düşünseydik,
çünkü tüm kartlar aynı, ama sıraları farklı
kartlar aynı olduğu için demin yaptığım hesap
doğru olurdu, çünkü işlem sıralamaya göre yapıldı
Ama kartlar oyuncunun isteğine göre
seçildiği için, sıranın bir önemi yok.
Şimdi hesaplayalım
Aynı sayıdaki kartları
kaç farklı yolla dizebiliriz?
Fazladan saymamak için,
9 kartı kaç şekilde dizebiliyorsak o sayıya bölelim
9 kart kaç şekilde dizilebiliyorsa
Peki,
9 tane kart kaç şekilde sıralanabilir?
9 kartım var, içinden birini ilk çizgiye yerleştireceğim,
bu da ilk çizgiyi 9 şekilde doldurabilirim demek.
İkinci çizgiye ise,
ilk çizgiye bir kart kullanmış olduğum için
koyabileceğim 8 kart var.
8 yol var.
ve bu sırasıyla böyle devam ediyor, sonra 7, sonra 6,5,4,3,2 ve 1
Son çizgiye ise
koyabileceğim 1 kart kalıyor.
O zaman aynen böyle işlem yapıyoruz: 9 çarpı 8,
çarpı 7, çarpı 6, çarpı 5, çarpı 4, çarpı 3, çarpı 2
çarpı 1 ya da 9.
9'la başlayıp 9'dan küçük olan her sayıyla çarpıyoruz.
Aslında 9'dan küçük her doğal sayıyla çarpıyoruz.
Buna 9 faktöryel diyebiliriz, yanına ünlem işareti kullanarak
ifade ediliyor.
Elimiz için yapabileceğimiz tüm farklı kombinasyonları
düşünecek olursak
sıraya önem verseydik sayılar böyle görünecekti
ama faktöryel ile yazarsak
işlem hatası yapmamış oluruz
Bu şekilde doğru yanıta
ulaşabiliriz.
Çarpacağımız sayı çok çok çok büyük bir sayı
Ne kadar büyük olduğuna bakalım.
Birinci sayı 36, biraz sola tarafa gideyim, 36 kere
35, çarpı 34, çarpı 33, çarpı 32, çarpı 31, çarpı 30
çarpı 29, çarpı 28 bölü 9.
şöyle de yapabilirim
bir parantez açayım, bölü parantez 9
çarpı 8 çarpı 7 çarpı 6 çarpı 5 çarpı 4 çarpı3
çarpı 2 çarpı 1
(İnşallah hesap makinesi işlemi doğru yapar)
eşittir: 94,143,280.
Şunu şuradan çekelim de yazılar okunabilsin
36'dan başlayan bu sayıların çarpımı 94,143,280 ediyor.
Yani bu sorunun cevabı bu.
94,143,280 tane olası
el yaratılabilir.
Bizim kullandığımız yol gayet mantıklı
Ama bir de,
bize tam olarak aynı cevabı verecek
bir formül var.
Onu da şöyle anlatalım:
Şimdi, elimize 36 tane şey var ve içinden
9'unu seçeceğiz.
Sırayı önemsemiyoruz, dolayısıyla
N ve K olarak yazılabilir.
Şimdi burada ne yaptık?
Şöyle anlatayım
36 sayı var
9'unu seçtik
36 faktöryel yazalım
ama 36 faktöryel 27, 26, 25 diye küçülmeye ve çarpılmaya devam eder
ama biz 9 sayı sonra duracağız
yani bu gruba toptan 36 faktöryel (36!) diyebiliriz
ama işlemi 36 faktöryel bölü
36 eksi 9 faktöryel diye yapacağız
36! / 36 - 9 =
36'dan 9 çıkarsa 27
yani 27 faktöryel oluyor.
36 faktöryeli açarsak, 36 çarpı 35
çarpı 34'ten ta 1'e ulaşana kadar
çarpmaya devam ederiz.
Bu 36 faktöryel ise,
36 eksi 9 27 faktöryel
eder.
27 faktöryel ile bölmeye başlayabiliriz
O da aynı 36 gibi, 27'den 26'ya, 25'e yani sırasıyla küçülerek çarpılacak. 1'e kadar inecek.
Deminki işlem de son yaptığımız işlem de bizi aynı sonuca götürüyor.
27 kere 26, bu ve bu birbirini
götürüyor. 36 bölü 36 eksi 9 faktöryel işleminde
36 faktöryelin en büyük ilk 9 terimi** bulunuyor.
Yani burada yaptığımızın aynısı
İşte bu kadar
9 faktöryel ile böldüğümüzde de
şuraya yazalım
Bu gösterdiğime de 36'nın 9'lu kombinasyonu diyebiliriz.
Bazen bu formül
n'in k'lı kombinasyonu olarak da yazılır.
Yani, n'in k'lı kombinasyonu eşittir, n faktöryel bölü n
eksi k faktöryel ve bölende bir k faktöryel daha var.
Eğer sıralama önemli değilse,
ve işlemde 'n' varsa, ve bu N'lerden K'lar seçiliyorsa, kullanılan
genel formül budur.
Sadece,
seçilen k'lar önemlidir, seçim esnasındaki
sıralama önemli değil.
Bizim yaptığımız da aynen bu.