Tip:
Highlight text to annotate it
X
Matris toplamayı öğrendik,matris çıkarmayı da.
matris çarpmayı da.
Şimdi merak ediyor olabilirsiniz,acaba matris bölmesi
diye birşey var mı diye?
Bu konuya girmeden önce sizi bazı kavramlarla
tanıştıracağım.
Ve sonra göricez ki tam olarak bölme olmayan ama ona
benzeyen birşey var.
Bu kavramla tanışmadan önce size birim matrisi
anlatacağım.
Birim matrisi bir matrisdir.
Ben onu büyük I ile göstericem.
Bu matrisi bi başka matris ile çarparsam--aslında
buraya bu noktayı koymalı mıyım bilmiyorum--neyse.
bunu bir başka matrisle çarparsam,
yine o matrisi elde ederim.
Ya da bir matrisi birim matrisi ile çarparsam yine
aynı matrisi elde ederim.
Ve matris çarpması yaparken yönün önemli olduğunu
unutmayın.
Burda size verdiğim bilgiler normal çarpmada
geçerli olmaz çünkü normal çarpmada a çarpı b
her zaman b çarpı a ya eşittir.
Ama matris çarpması y aparken hangi yönde yaptığın
önemlidir.
-
Neyse eğer kare matrislerle uğraşıyorsak her iki yönde de
yapabiliriz.
Eğer kare değilse sadece bir yönde işler her iki
yönde değil.
Bu konuda düşünürken matris çarpması ile ilgili
öğrendiklerimizi düşünüp niye böyle oluyor anlayabilirsiniz.
Neyse bu matrisi tanımladım.
Bu matris neye benziyor?
r.Aslında bayağı basit.
Eğer 2 ye 2 bir matrisimiz varsa birim matris 1,0,0,1 olur.
Eğer 3 e 3 ise 1,0,0,0,1,0,0,0,1 dir.
Şekli anladınız sanırım.
Eğer 4 e 4 istiyorsanız birim matris 1,0,0,0,
0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1.
Herhangi bir boyut için ne olacağını görmüşsünüzdür.
Bunu n ye n boyutları na kadar yapabiliriz.--
Üst sol köşeden alt sağ köşeye kadar uzanan
diyagonal üzerinde 1 ler var.
Geri kalan herşey 0.
Bunu size söyledim
şimdi de ispat edeceğim.
Bu matrisi alalım ve bir başka matrisle çarpalım.
-
Ve ilk matrisin değişmediğini gösterelim.
1,0,0,1 i alalım.
Ve onu çarpalım--genel bir matris yazalım.
Böylece bütün sayılar için geçerli olduğunu görürsünüz.
a,b,c,d.
-
Evet bu neye eşittir?
--
Bu sıra ile bu kolonu çarpacağız.
1 çarpı a artı 0 çarpı c eşittir a.
ve bu sıra çarpı bu sütun.
1 çarpı b artı 0 çarpı d.
bu b dir.
Sonra bu sıra çarpı bu sütun.
0 çarpı a artı 1 çarpı c eşittir c
Ve son olarak bu sıra çarpı bu sütun.
0 çarpı b artı 1 çarpı d..
bu da sadece d dir.
işte oldu.
Bu egzersizi bir de öteki yoldan yaparsanız eğlenceli
olabilir.
Aslında daha da iyisi bunu 3 e 3 bir matrisle yapmak.
-
Ve görüceksiniz ki işe yarıyacak.
Ve size iyi bir egzersiz de şu olur--niye bu böyle?
Düşünürseniz bunun nedeni sıra bilgisini burdan
sütun bilgisini de burdan alıyor olmanızdır.
-
Esasen ne zaman iki vektör çarpsanız aslında
yaptığınız şey ilgili terimleri çarpıp toplamaktır.
-
Eğer sadece 1 ve 0 varsa, 0 bu sütun vektördeki
birinci terim hariç diğer terimleri sıfırlayacaktır.
Onun için geriye birtek a kalır.
Bu nedenle de bu sütun vektördeki birinci terim hariç tüm
terimleri yok eder
Onun için size birtek b kalır.
Aynı şekilde bu da ikinci terim hariç herşeyi
sadeleştirir.
Onun için burda birtek c kalır.
Bu çarpı bu.
Sadece c kalır.
Bu çarpı bu.
Sadece d kalır.
Aynı durum 3 e 3 veya n ye n vektörlerde de karşımıza
çıkacaktır.
Bu enteresan bir durum.
Birim vektörü var.
Şimdi benzetmemizi tamamlamak istersek---
biraz düşünelim.
Normal matematikte 1 çarpı a eşittir a.
--
Ayrıca biliyoruz ki 1 bölü a çarpı a --normal matematikte
eşittir 1.
Ve biz buna a nın tersi deriz.
Bu a ya bölmekle aynı şeydir.
Bunun matris için bir uyarlaması var mı?
Renkleri değiştireyim bu yeşili biraz fazla kullandım.
--
Bir matris olsa ve a diyeceğim bu matrisi bir başka
matrisle çarpsam ve buna da a nın tersi desem ve
sonunda elimde 1 sayısı değilde 1 e eşdeğer
bir matris kalsa?
--
Birim matrisle kaldım.
Bi de bu çarpmanın terimlerinin yerini değiştirebilseydim
çok güzel olacaktı.
A çarpı Anın tersinin de birim matrise eşit olması gerekir
-
Eğer düşünürseniz ikisi de doğru olduğuna göre--Ters A
Anın tersi oluyor ama aynı zamanda A da Anın tersinin
tersi oluyor.
Birbirlerinin tersi oluyorlar.
Bütün söylemek istediğim buydu.
Ve böyle bir matris var ve A nın tersi deniyor.
Üç kere Anın tersi dedim.
-
Şimdi de nasıl hesaplayacağınızı göstericem.
Hadi y apalım
2 ye 2 için hesaplamak bayağı kolay.
--
İnsanlar bu işin teknik tarafını nasıl buldu konusu
size biraz gizemli gelebilir ya da algoritması.
-
3 e 3 biraz daha karışık.
4 e 4 bütün gününüzü alır.
5 e 5 de matrisin tersini bulurken mutlaka bir dikkat hatası
yapılır.
Onun için bilglsayarın yapması daha uygun olur.
Neyse matrisi nasıl bulacağız.
Matrisi bulduktan sonra gerçekten tersi olduğunu
doğrulamalıyız.
A matrisim olsun ve elemanları a,b,c,d olsun.
Bunun tersini hesaplamak istiyorum.
Bunun tersi aslında----
biraz sihirbazlık gibi gelecek.
Daha sonraki videolarda bunun nasıl işlediği hakkında
biraz daha açıklayıcı olucam ya da nasıl bulunduğunu
size göstericem.
Ama şimdilik sadece ezberlemenizi istiyorum.
Böylece bir matrisin tersini hesaplamayı bildiğiniz
için kendinize güveniniz artacak.
Önce bulmamız gereken bir bölü a çarpı d eksi b çarpı c
sayısı
ad eksi bc
Bu sayı ,ad eksi bc ye
A matrisinin determinantı denir.
Bu 1 bölü determinantı bir matrisle çarpıcaz.
Bu bir bölü ad eksi bc sadece bir sayı.
Sadece skaler büyüklük.
Ve bunu çarpacağımız matrisi şöyle buluruz:
Önce a ile d nin yerini değiştireceğiz.
Demek istediğim sol üstteki eleman ile sağ altı değiştireceğiz.
Sol üst d ve sağ alt a olur.
Bu ikisini de yani alt soldaki eleman ile üst sağı eksi yaparız.
-
Eksi c ve eksi b.olur.
Ve determinant -- bu söyleyeceğime de birşey sormadan
inanmanız gerekiyor.
İ E5TV BHNM O0LÇĞ; bundan sonraki videolarda sizi daha aydınlatacağım.
Ama determinantın ne olduğunu öğrenmek çok havalı
birşeydir.
Ve bunu ortaokulda işliyorsanız ,sadece hesaplamasını
bilmek yeterlidir.
Aslında bu benim sevdiğim birşey değil.
Bu nedir?
Bu da A nın determinantıdır.
Bir sınavda karşınıza soru olarak çıkabilir--A nın
determinantını bulun.
Size sadece bunu söylicem.
Determinantın işareti --- A mutlak değer içinde olarak gösterilir.
A nın determinantı eşittir ad eksi bc.
Bunu söylemenin bir başka yolu,bu 1 bölü determinanttır.
-
O zaman A nın tersi eşittir 1 bölü
A nın determinantı çarpı d ,eksi b, eksi c,a matrisi.
Nasıl bakarsanız.
Şimdi bunu gerçek bir probleme uygulayalım ve göreceksiniz ki
o kadar da zor değil.
Önce harfleri değiştirelim,böylece her zaman matrise A
denilmeyeceğini anlarsınsz.
Farzedelim ki bir matris B var.
Bu matrisin elemanları ise--gelişigüzel söylicem--
3, eksi dört,2,eksi 5 .
B nin tersini bulalım.
B nin tersi eşittir 1 bölü B nin determinantı çarpı bir matris.
--
B nin determinantı nedir?
3 çarpı eksi 5 eksi 2 çarpı eksi 4.
3 çarpı eksi 5 eşittir eksi 15,eksi 2 çarpı eksi 4
2 çarpı eksi 4 eşittir eksi 8.
Bunu eksi onbeşden çıkaracağız.
Onun için artı 8olacak.
--
Bunu neyle çarpacağız?
Bu iki terimin yerini değiştirdik.Eksi 5 ve 3 oldu.
Bu iki terimin de negatifini alıcaz.
Eksi 2 ve 4 oldu.
4 daha önce eksi 4 tü.Onun için negativini alınca 4 olur.
Bakalım bunu biraz sadeleştirebilecekmiyiz?
B nin determinantı eşittir eksi 15 artı 8.
Yani determinant eşittir eksi 7.
Burası eşittir eksi 1 bölü 7.
O zaman B nin determinantı eşittir
eksi 7.
O zaman bu da eksi 1 bölü 7 çarpı eksi 5,4,eksi 2,3,
Bu da eşittir --bu sadece bir skalardır,bir sayıdır,onun için
onu her bir eleman ile çarparız.--
o zaman burası eşittir --- eksi,eksi,artı yapar.
Bu 5 bölü 7 dir.
5 bölü 7 eksi 4 bölü 7.
Bakalım.
Artı 2 bölü 7.
-
Sonra eksi 3 bölü 7.
-
Biraz karışık..
Sonunda bir sürü kesirle kaldık.
Bunun gerçekten B matrisinin tersi olduğunu doğrulayalım.
-
Hadi çarpmaları yapalım.
Bunu yapmadan önce biraz yer açalım.
--
Buna artık ihtiyacım yok.
--
Oldu işte.
tamam
Hadi şimdi, bu çarpı bu ya da bu çarpı bu gerçekten
birim matrise mi eşittir, doğrulayalım.
Bunu yapalım.
Renkleri değiştireyim.
O zaman B nin tersi eşittir 5 bölü 7,eğer hata yapmadıysam
--
eksi 4 bölü 7
2 bölü 7
ve eksi 3 bölü 7.
Bu B nin tersidir .
Bunu B ile çarpayım.
3 eksi 4.
2 eksi 5
Ve bu da çarpım matrisi olacak.
Hesaplamalar için yere ihtiyacım var.
---
Renkleri değiştireyim.
Bu sıra ile bu sütunu çarpıcam.
5 bölü 7 çarpı 3 nedir?
15 bölü 7.
artı eksi 4 bölü 7 çarpı 2.
eksi 4 bölü 7 çarpı 2 eşittir--
doğru mu bakayım--5 çarpı 3 eşittir 15 bölü 7.
eksi eksi 4 bölü 7 çarpı 2 yani eksi 8 bölü 7
--
Şimdi de bu sıra ile bu kolonu çarpıcaz.
5 çarpı eksi 4 eşittir eksi 20 bölü 7.
Artı eksi 4 bölü 7 çarpı eksi 5
bu da 20 bölü 7 dir.
Beynim yavaşlamaya başladı bu matris çarpmaları
kesirler ve eksi sayılarla uğraşmaktan.
Ama bu beyin için çok iyibir egzersiz.
--
Neyse
Aşağı inelim ve bu terimi yapalım.
Bu sıra ile bu sütunu çarpıcaz.
2 bölü 7 çarpı 3 eşittir 6 bölü 7.
artı eksi 3 bölü 7 çarpı 2
bu da eksi 6 bölü 7 olur
bir terim kaldı
-
2 bölü 7 çarpı eksi 4 eşittir eksi 8 bölü 7.
--
artı eksi 3 bölü 7 çarpı eksi 5
eksiler birbirini götürür,geriye artı 15 bölü 7 kalır.
Ve s adeleştirirsek ne kalır*
15 bölü 7 eksi 8 bölü 7 eşittir 7 bölü 7.
Bu da 1 dir.
Bu 0 dır,
bu da 0,
6 bölü 7 eksi 6 bölü 7, 0 dır.
ve eksı 8 bölü 7 artı 15 bölü 7 eşittir 7 bölü 7.
bu da 1 dir.
İşte çıktı.
Bu matrisin tersini aldık.
İşin zor kısmı bunu ispat etmek için yaptığımız çarpmada
uğraştığımız kesirler ve eksi sayılardı.
-
Ümit ederim ki bu sizi tatmin etmiştir.
Siz kendiniz çarpmayı öteki şekilde yapıp yine
birim matrisin çıkacağını gösterebilirsiniz.
-
Neyse 2 ye 2 bir matrisin tersi böyle bulunuyor.
-
Gelecek videoda görücez ki 3 e 3 bir matrisin
tersini bulmak daha da eğlenceli olacak.
Görüşmek üzere...