Tip:
Highlight text to annotate it
X
Türev konusu sunumumuza hoşgeldiniz.
Bu konuda matematiğin birkaç konu öncesinden çok daha eğlenceli olmaya başladığını göreceksiniz.
Haydi başlayalım o zaman.
Karışık göründüğünü biliyorum.
Önce düz bir doğru çizmeye çalışayım.
Bunlar benim kordinat eksenlerim.
Tabii gene düzgün çizemedim.
Bu düz bir doğru.
Düz bir doğrumuz olduğunu varsayıyorum ve sizden eğimini bulmanızı istiyorum.
Eğimi nasıl bulacağınızı bildiğinizi düşünüyorum.
Eğim y eksenindeki değişikliğin x eksenindeki değişikliğe oranı.
Burada eğim her yerde aynı çünkü bu bir düz doğru,bu yüzdende eğim bütün doğru üzerinde aynıdır.
Ama eğer bu doğru üzerindeki herhangi bir noktada bulmak isteseydim, bir x noktası alırdım.
Diyelim bu nokta. Rengini değiştirelim.
Bir de bu noktayı alalım.
Gelişigüzel seçtim. Herhangi 2 noktayı seçebilirim.
Burada y ekseni üzerindeki değişikliği görmek istiyorum.
Bu y eksenindeki değişim.
Ya da delta y yani y ekseninki değişimi söylemenin başka bir yolu.
Bu x ekseninindeki değişim. Yani delta x.
Yani eğimi şöyle tanımlayabiliriz.
Eğim= y eksinindeki değişim / x eksenindeki değişim
Ya da delta ile ifade etmek istersek eğim= Δy / Δx
Çok kolay.
Peki elimizde düz bir doğru yoksa ne yapacağız?
Bakalım yeterli yerim var mı?
Bir başka koordinat ekseni.
Biraz dağınık yazıyorum ama anlayacağınızı düşünüyorum.
Şimdi bunun gibi düz bir doğru yerine yani y=mx+b yerine diyelim ki y=x^2 eğrisi var elimizde.
Farklı bir renkle çizeyim.
y=x^2 böyle bir şeye benziyor.
Zaten şimdiye kadar bir çok kez görmüşsünüzdür.
Sormak istediğim bu eğrinin eğimi.
Bunun hakkında bir düşünün.
Bir eğrinin eğimini bulmak ne demek?
Bu doğru üstünde eğim her yerde aynıydı.
Ancak bu eğriye bakarsanız eğim değişiyor değil mi?
Burada neredeyse düz ve oldukça dik bir hale gelene kadar gittikçe dikleşiyor, dikleşiyor ve daha yukarıya çıkarsanız daha da çok dikleşir.
Şunu soruyor olmalısınız: Eğimi sürekli değişen bir eğrinin eğimini nasıl bulabiliriz?
Eğrinin sabit bir eğimi yoktur ve eğri üzerindeki bir noktadan diğerine değişir. Yani bütün eğri için tek bir eğimden bahsedemeyiz.
Halbuki bütün bir doğruda eğim sabittir ve üzerindeki her noktada eğim eşittir çünkü değişmez.
Şimdi göstermeye çalışacağım bir nokta üzerindeki eğim.
Mesela bu noktanın eğimi bu doğrunun eğimi ile aynı olacak, değil mi?
Çünkü bu doğru bu noktaya teğet geçiyor.
Sadece eğriye dokunuyor ve tam olarak o noktada bu mavi eğri, y=^2, bu yeşil doğru ile aynı eğime sahip.
Ancak biz noktayı biraz geriden almış olsaydık, grafik her ne kadar çok kötü çizilmiş olsada, eğim böyle bir şey olurdu.
Teğetin eğimi.
Eğim negatif olurdu ve işte burada eğim pozitif.
Buradan bir nokta almış olsaydık eğim daha da pozitif olurdu.
Peki bunu nasıl anlayacağız?
y=x^2 eğrisinin her noktasındaki eğimi nasıl bulacağız?
İşte burada türev işin içine giriyor ve şimdi limitin gerçekten yararlı bir konu olduğunu burada göreceksiniz.
Bu eğriyi tekrar çizelim.
Önce eksenleri çizeyim.
Bu y ekseni. Sadece 1. bölgeyi çiziyorum.
Bu x ekseni.
Eğriyi sarıyla çizeceğim.
y=x^2 eğrisi hemen hemen böyle bir şey olacak.
Düzgün çizebilmek için oldukça konsantre olmaya çalışıyorum.
Tamam.
Diyelim ki bu noktadaki eğimi bulmak istiyoruz.
Bu a noktası olsun.
Bu noktada x=a.
Tabii ki bu f(a).
Değil mi? f(a).
Yapmaya çalışacağımız şey kiriş doğrusunun eğimini bulmak.
Bu noktaya yakın başka bir nokta alalım.
Burada.
Bu doğrunun eğimini bulursak eğrinin bu noktadaki eğimine çok yaklaşmış oluruz, değil mi?
Kirişi çizeyim.
Böyle bir şeye benzemesi gerekiyor.
Bu noktaya a+h diyelim.
Yani bu iki nokta arasındaki uzaklık h.
Yani a noktasından h kadar uzaklaşıyoruz.
Bu nokta da f(a+h).
Bu, buradaki noktanın eğiminin ne olacağına dair bir yaklaşım olabilir.
h küçüldükçe, iki nokta birbirine daha çok yaklaşır ve bulmak istediğimiz eğime o kadar daha iyi bir yaklaşım elde ederiz.
h=0 olduğu yerde eğimi bulabilirsek, eğrinin o noktadaki anlık eğimini bulmuş oluruz.
Peki h=0 olduğu zaman eğimi nasıl bulabiliriz?
Bu iki nokta arasındaki eğim y eksenindeki değişim.
O zaman y eksenindeki değişim nedir?
x koordianatı a+h, y koordinatı f(a+h).
(a+h, f(a+h)).
Bu noktanın koordinatları ise şöyle: (a, f(a))
Standart eğim formülünü kullanırsak, y'nin x'e göre değişimini söyleyebiliriz.
O zaman y'deki değişim nedir?
f(a+h) - f(a) / (a+h - a).
Yani f(a+h) - f(a) / h.
Bu kiriş doğrusunun eğimi.
Teğet doğrusunun eğimini bulmak istiyorsak h daha küçük, küçücük olduğunda ne olduğunu bulmalıyız.
Sanırım nereye varmak istediğimi biliyorsunuz.
Eğer teğet doğrusunun eğimini bulmak istiyorsak h 0'a yaklaşırken bu değerin limitini bulmalıyız.
lim =f(a+h) - f(a) / h h-> (h 0'a yaklaşırken)
Eğer h 0'a yaklaşıyorsa bu kiriş doğrusu gittikçe teğet doğrusunun eğimine daha da çok yaklaşıyor.
O zaman eğrinin üzerindeki o noktanın eğimini bulmuş oluyoruz.
Ve böylece türevin tanımını vermiş oluyoruz.
Bu türevin tanımı.
Türev bir eğrinin üzerindeki belirli bir noktanın eğiminden başka hiçbir şey değil.
Ve bu çok kullanışlı bir şey çünkü ilk zamanlar sadece bir doğrunun eğimini bulabiliyorduk.
Şimdi ise herhangi bir eğrinin veya eğrilerin belli bir noktasındaki eğimini bulabileceğiz.
Şimdi size türevin tanımını verdim.
Biraz da gelecek videoda neler yapacağımıza dair önsezi veridiğimi umuyorum.
Bu tanımı x^2 ve onun gibi diğer fonksiyonlarda uygulayacağım ve bir kaç örnek yapacağım.
O zaman bir dahaki videoda görüşmek üzere.