Tip:
Highlight text to annotate it
X
Bu videoda, sonsuz büyüklükte elektrik yüklü bir levhanın
yarattığı elektrik alana bakacağız.
Neden?
Çünkü gelecek video, bu levhanın yanında
elektrik alanın sabit olduğunu göreceğiz.
sabit elektrik alan
kapasitörler için önemlidir.
Fizik kitapları, yüklü sonsuz levhanın hemen yanında sabit elektrik alan oluştuğunu söyler
fakat çoğu kanıt göstermezler.
Kanıtı bu videoda göreceğiz.
-
-
Sonsuz büyüklükteki yüklü levhanın yandan görünüşünü çizelim.
-
Bu, yük yoğunluğu sigma olan, yüklü levhamız yandan görünümü.
-
Yük yoğunluğu nedir?
2 boyutlu levha için
birim alana düşen yük miktarıdır.
yük yoğunluğuna "sigma" dedik.
Yüklü levhanın yoğunluğu sabit, yani levhanın her yerinde aynı kabul edelim.
Hesaplamalara geçmeden önce şunu belirteyim:
Eğer bu videoda yapacağımız integral hesaplamalarını
matematik dersinde görürseniz
fizik videolarına dönüp elektrostatik konusuna tekrar göz atamanız iyi olur.
Bu sizin için kolay olur.
Fakat,eğer bu videoyu fizik dersi adı altında izliyorsanız ve
matematikte integral hesabı görmediyseniz
bu videoyu izlemeyin, sizin için zor olabilir.
Şimdi hesaplamalara başlayalım.
Bu, her yönde sonsuza kadar uzanan yüklü levhamın yandan gönünüşü
-
-
Burada noktasal bir test yükü olan, q yükü olsun.
-
-
Levhanın üzerindeki küçük bir alanın
q yüküne nasıl bir etkisi olduğuna bakalım.
-
q yükü levhadan h kadar yukarıda olsun.
-
Çizelim.
Burası h yüksekliği.
q yükünün levha üzerindeki izdüşümünün bu noktaya uzaklığı r.
-
q ile levha üzerinde şeçtiğimiz küçük alan arasındaki mesafe ne olur?
-
-
Bu uzaklık nedir?
-
Pisagor teorisini kullanabiliriz çünkü
bu bir dik üçgen öyleyse bulmak istediğimiz mesafe
bu noktanın karesi artı şu noktanın karesinin karekökü.
-
Bulduğumuz mesafe
q ve levha üzerinde seçilen küçük alan arası uzaklık.
-
Eğer q ve levha pozitif yüklü ise
küçük alanın q yüküne uyguladığı kuvvet dışa doğru olur.
-
-
Şu şekilde çizebiliriz.
Levha sonsuz büyüklükte olduğu için
Levhanın sağ tarafında da küçük bir alan seçebiliriz.
-
O zaman q'ya uygulanan kuvvet bu yönde olur.
-
Levhanın her yerinde yük yoğunluğu aynı olduğundan
ve seçilen her noktanın herhangi bir dikey eksene göre simetriği olduğundan
kuvvetin yatay bileşenleri daima birbirini götürür.
Bu, levha boyunca her nokta için geçerlidir
-
Levhaya tepeden bakarsak
-levha her yönde sonsuza uzanıyor-
bu nokta da q'nun tepeden görünümü.
Burası levha üzerinde seçtiğimiz küçük alan.
-
-
seçilen alanın q' ya göre simetriği burası.
Bu iki alanın q'ya uyguladığı kuvvetlerin x bileşenleri birbirini götürür.
Levhada seçilen bir noktanın her zaman simetriği vardır
çünkü levha sonsuz büyüklükte.
O zaman bütün noktalar için x bileşenler birbirlerini götürür.
-
Öyleyse, levhanın q yüküne uyguladığı net kuvvet y yönünde olur.
Bunun size mantıklı geldiğini düşünüyorum.
Levha sonsuz büyüklükte
öyleyse her noktanın başka bir noktaya göre simetriği vardır
o zaman kuvvetin, yatay yani x bileşeni her nokta ve simetriği için yok olur.
q'ya levhanın uyguladığı kuvvet y yönünde ise
bizde elektriksel kuvvetin sadece y bileşenine bakarız.
-
Kuvvetin y bileşeni ne olur?
-
-
Bu noktanın
q yükü üzerinde oluşturduğu elektrik alan bu yönde E1 olsun.
-
E1'in y bileşeni nedir?
-
Levha ve q pozitif yüklü olduğu için
E1 dışarıya doğru.
Y bileşeni nedir?
Bu bileşeni nasıl buluruz?
Eğer bu teta açısını bilirsek
E1'in y bileşeni
E1 x cos(teta) olarak buluruz.
Cos(teta) = komşu / hipotenüs ise
komşu = cos(teta) X hipotenüs
Öyleyse elektrik alanın y bileşeni
cos(teta) X hipotenüs olur.
-
Teta nedir?
Teta açısı tirigonometriden tanıdığınız normal bir açıdır.
-
cos(teta) nedir?
cos(teta) = komşu / hipotenüs
-
-
-
Bu açıya bakarsak ki bu iki açı aynıdır
komşu / hipotenüs nedir?
Burası komşu, şurası ise hipotenüs.
-
Levhanın bu küçük alanının
q yükünün olduğu yerde oluşturduğu elektrik alan E1,
E1'nin y bileşeni de Ey1 olsun.
-
Ey1'in büyüklüğü :
Ey1 = E1 x cos(teta) bulunur.
-
cos(teta) = h / hipotenüs
-
-
Elektrik alanın büyüklüğü ne demek olduğunu anladıktan sonra
Ey1 bileşenine geri döneceğiz.
-
Burada sadece sadece bu noktanın oluşturduğu E alanını değil
Bu halka üzerindeki tüm noktaların oluşturduğu E alana bakacağız.
-
Çizelim..
-
bu sonsuz büyüklükteki yüklü levha.
Başta sarı renkle çizdiğim için yine sarı renkle çizeyim.
-
Evet bu sonsuz levhamız.
Her yöne doğru sonsuza uzanıyor.
-
Burada levhada h kadar yüksekte q yükü var.
-
Bu nokta şurada da olabilirdi.
Şimdi bu noktadan eşit uzaklıkta olan noktalara bakacağım.
-
Bu uzaklık r
Bu noktalar r yarıçapında bir çemberin üzerinde olurlar.
Bu noktalar q yüküne de eşik uzaklıktadır.
-
-
-
Çemberin üzerindeki noktaların
q yükü üzerindeki elektriksel kuvvetin y bileşeni nedir?
Çemberin üzerindeki toplam yük
"çemberin alanı x levhanın yük yoğunluğu " olur.
Toplam yükü bulduktan sonra
Coulomb kanunundan elektriksel kuvveti bulabilirz.
Biraz önce yaptığım gibi
teta açısını kullanarak kuvvetin y bileşeni de bulunur.
-
-
-
-
"Çemberin yükü = alan x yük yoğunluğu "idi
-
alan = çevre x genişlik
-
çevre= 2pi r
-
çemberin kalınlığı çok küçük olduğu için
genişlik = dr yazabiliriz.
öyleyse, "alan = 2pi r x dr" olur.
yük = alan x sigma bağıntısından
"yük = 2pi r dr x sigma" olur
-
bu yük çemberin üzerindeki toplam yüktür.
q yükünün olduğu yerde
çemberin oluşturduğu E alan nedir?
Coulomb kanununa göre çemberin oluşturduğu kuvvet
Coulomb sabiti x çemberin yükü x q / uzaklığın karesi.
-
-
q ve çemberin herhangi bir noktası arasındaki uzaklık nedir?
-
q yükünün çember üzerindeki her noktaya uzaklığı aynıdır.
-
-
-
Pisagor teorisini kullanarak
-
bu uzaklığın, karekök(r^2 + h^2) olduğu bulunur.
-
payda da, uzaklığın karesi (r^2 + h^2) olur.
-
F = k X çemberin yükü X q / (r^2 + h^2) bulunur.
-
-
-
-
Eğer çemberin oluşturduğu E alanı bulmak istiyorsak
E alan, test yükü başına düşen kuvvettir.
Her iki tarafı q' ya bölersek
Çemberin oluşturduğu E alan Er:
Er = k X çemberin yükü / (h^2 +r^2) olur
-
Er 'ın y bileşenini bulalım.
-
-
Bulduğumuz Er bu yöndeki vektörün büyüklüğüdür.
-
Er alanın x bileşenleri birbirini götürdüğü için
sadece y bileşenlerini (Ery) buluyoruz.
Ery=Er X cos(teta)
cos(teta) burası.
Çemberin oluşturduğu y yönündeki E alan
E alanın büyüklüğü x cos(teta)
cos(teta) = h / karekök (h^2+r^2)
-
Bulduğumuz sonucu sadeleştirelim.
Paydayı düzenleyelim.
(h^2+r^2) parantezlerinin üsleri toplanır ve 3/2 olur.
Pay ne olur?
k h
Çemberin yükünü yerine yazalım:
2 pi sigma r dr
Bulduğumuz sonuç
çemberin, levhadan h kadar yukarıda olan q yükü üzerinde
oluşturduğu E alanın y bileşenidir.
Yani bütün levhanın oluşturduğu E alan değil.
-
-
Bu videonun süresi tamamlandı.
Şimdi bir ara verelim
ve gelecek videoda devam edelim.
Bir sonraki videoda ne yapacağımızı tahmin edebilirsiniz.
Bu videoda sadece çemberin oluşturduğu E alanı bulduk.
-
Bulduğumuz sonucun levhanın tamamı üzerinden integralini alırsak
Levhanın oluşturduğu y yönündeki E alanı buluruz .
Yani, yarıçapı sıfırdan sonsuza kadar olan her çemberin oluşturduğu E alanını bulup
bunları toplarsak, levhanın h kadar yukarısında ve
y yönünde oluşturduğu E alanı buluruz.
-
Gelecek videoda görüşmek üzere.