Tip:
Highlight text to annotate it
X
-
Homojen olmayan sabit katsayılı ikinci mertebeden doğrusal diferansiyel denklemler çözmeye hazırız.
-
Peki bunun anlamı nedir?
Şuna benzeyen bir denklem demek.
A çarpı ikinci türev artı B çarpı birinci türev artı C çarpı fonksiyon eşittir g x.
-
Bir örnek çözmeden önce, ilginç bir şey göstermek istiyorum.
-
Homojen olmayan denklemin genel çözümü, homojen denklemin genel çözümü, artı tekil bir çözümdür.
-
-
Bunun anlamını birazdan açıklayacağım.
Diyelim ki, h, homojen bir denklemin çözümü.
-
-
Bu iyi bir seçim, çünkü h homojenin ilk harfi.
-
-
Homojen için bir kısaltma olmalı.
-
Bunun anlamı nedir?
A çarpı h'nin ikinci türevi artı B çarpı h üssü artı C çarpı h eşittir 0.
-
h'nin çözüm olmasının anlamı bu. h, homojen denklemin genel çözümü diyelim.
-
-
Bunu çözmeyi biliyoruz.
Karakteristik denklemi alırız ve reel ve karmaşık kökleri buluruz.
-
Böylece, genel çözümü buluruz.
Eğer başlangıç değerleri varsa, yerine koyup sabitlerin değerlerini buluruz.
-
Peki.
Şimdi g'nin çözüm olduğunu düşünelim.
Hayır, g'yi burada kullandım.
Sesli harf kullanmak istemiyorum.
j diyelim.
j'nin bu diferansiyel denklemin bir tekil çözümü olduğunu varsayalım.
-
Peki bunun anlamı nedir?
A çarpı j'nin ikinci türevi artı B çarpı j üssü artı C çarpı j eşittir g x.
-
Öyle değil mi?
j x'i tekil çözüm olarak tanımlamış olduk.
-
Şimdi size j x artı h x'in bu denklemin çözümü olacağını göstereceğim.
-
Bu ifade, homojen olmayan denklemin genel çözümü olacak.
-
Başlamadan önce, nasıl bir mantık yürütebiliriz?
-
Buraya h koyunca, 0 elde ediyoruz.
j koyunca da g x elde ediyoruz
Topladığımızda ise, 0 artı g x elde edeceğiz.
-
Yani, g x elde edeceğiz.
Şimdi size bunu göstereyim.
Buraya h artı j koymak istiyorum, diyelim.
-
A -iki fonksiyonun toplamının ikinci türevi eşittir, ikinci türevlerin toplamı - artı B çarpı toplamın birinci türevi artı C çarpı fonksiyonların toplamı.
-
-
-
-
Amacım, bunun g x'e eşit olduğunu size göstermek.
Peki bu nasıl sadeleşir?
h'li terimleri biraraya toplarsak, A çarpı h'nin ikinci türevi artı B çarpı h üssü artı C çarpı h artı, j'li terimleri birleştirelim, A çarpı j'nin ikinci türevi artı B çarpı j üssü artı C j.
-
-
h ve j'nin tanımlarına göre, bu neye eşit olur?
-
h'nin homojen denklemin çözümü olduğunu söylemiştik, yani bu ifade 0'a eşit.
-
Burası, 0'a eşit.
j'nin tanımına göre, bu neye eşit?
j'nin homojen olmayan denklemin tekil çözümü olduğunu söylemiştik. Yani, bu ifade g x'e eşit.
-
-
-
Buna göre, h artı j'yi diferansiyel denklemin sol tarafına koyduğumuzda, sağ tarafta gerçekten g x elde ediyoruz.
-
-
h ve j'yi böyle tanımlıyoruz ve k x eşittir h x artı j x diyoruz.
-
-
-
Genel çözüm böyle.
Denklemin en genel çözümünün bu şekilde olduğunu ispatlamadım, ama mantığını anladınız, öyle değil mi?
-
Çünkü homojen denklemin genel çözümü, en genel çözümdü ve buna, sadece, sağ tarafta g x'i elde etmemizi mümkün kılan bir tekil çözüm ekliyoruz.
-
-
-
Bu, kafanızı karıştırmış olabilir, o nedenle gerçek sayılarla bir örnek yapalım.
-
Sanıyorum, böylesi çok daha mantıklı gelecek.
Size j'yi bulmak için bir teknik de öğreteceğim.
-
-
Peki, tekil çözümü nasıl bulduk?
Diferansiyel denklemimiz şöyle: y'nin ikinci türevi eksi 3 çarpı birinci türev eksi 4 çarpı y eşittir 3 e üzeri 2 x.
-
-
-
İlk olarak, homojen denklemin genel çözümünü bulmak istiyoruz.
-
Örneğimde, bu, h x olurdu.
-
Yani, y'nin ikinci türevi eksi 3 y üssü eksi 4 y eşittir 0'ın çözümünü bulmak istiyoruz.
-
Karakteristik denklemi alalım.
-
r eksi 4 çarpı r artı 1 eşittir 0.
İki kök, r eşittir 4 veya r eşittir eksi 1.
Genel çözümümüz - y g diyelim.
-
-
Genel çözümümüz eşittir - bunu pek çok kereler yaptık - c 1 e üzeri 4 x artı c 2 e üzeri eksi 1 x, veya eksi x.
-
-
Peki.
Homojen denklemi çözmüş olduk.
Peki,sağ tarafta bize bu sonucu veren, j x'i nasıl buluyoruz?
-
-
Burada durup düşünmemiz lazım.
Bu yöntemin adı, Belirsiz Katsayılar Yöntemi.
-
Şöyle diyoruz: Öyle bir fonksiyon seçeyim ki, ikinci türevine birinci türevinin ve fonksiyonun katlarını eklediğimde, e üzeri 2 x elde edeyim.
-
-
-
Bu fonksiyon ve türevleri, e üzeri 2 x'in katları olmalı, öyle değil mi?
-
-
Yani, tahminde bulunuyoruz.
Değişik fonksiyonların ve türevlerinin katlarını alıp toplasam, çıkarsam ne elde ederim, diye soruyoruz.
-
-
-
e üzeri 2 x veya e üzeri 2 x'in bir katını elde ederim.
Burada bulacağımız iyi bir tahmine, j veya tekil y diyebiliriz.
-
Burada tekil ifadesini, başlangıç değeri olan denklemlerden biraz farklı anlamda kullanıyorum.
-
-
-
Bu çözüm, bize sağ tarafı veren çözüm.
A çarpı e üzeri 2 x olarak bir çözüm seçeyim.
-
Tahminim buysa, bunun türevi eşittir 2 A e üzeri 2 x.
-
İkinci türevi de, 4 A e üzeri 2 x.
-
Bunları yerine koyup, A'yl bulursam, tekil çözümümü elde etmiş olurum.
-
İkinci türev, bu.
4 A e üzeri 2 x eksi 3 çarpı birinci türev. Yani, eksi 3 çarpı bu.
-
Eksi 6 A e üzeri 2 x eksi 4 çarpı fonksiyon.
Eksi 4 A e üzeri 2 x, ve bunun tamamı, 3 e üzeri 2 x'e eşit.
-
e üzeri 2 x'in 0'a eşit olmadığını biliyorum, o yüzden iki tarafı buna bölebilirim.
-
Dışarı alalım.
e üzeri 2 x'lerin hepsini yok edelim.
Sol tarafta 4 A ve eksi 4 A kalır.
Bunlar birbirini götürür.
Ve, eksi 6 A eşittir 3 kalır.
İki tarafı 6'ya bölersek, A eşittir eksi 1 bölü 2 buluruz.
Evet. Tekil çözümümüzü bulduk.
-
Eksi 1 bölü 2 e üzeri 2 x.
Homojen olmayan denklemin genel çözümü, bu tekil çözüm artı homojen denklemin genel çözümü olacak.
-
-
-
Bunun en genel çözüm olduğunu söyleyebiliriz.
-
y diyeyim.
c 1 e üzeri 4 x artı c 2 e üzeri eksi x artı bulduğumuz tekil çözüm.
-
Yani, eksi 1 bölü 2 e üzeri 2 x.
Çok güzel.
Neyse, birkaç örnek daha yapınca, yöntemi anlayacağınızı düşünüyorum.
-
Sonraki örneklerde e dışında bir fonksiyon kullanırız.
-
Polinom ve trigonometrik fonksiyonlarla da işlemler yaparız.
-
Bir sonraki videoda görüşürüz.
-