Tip:
Highlight text to annotate it
X
Karmaşık (kompleks) sayılar
Benim adım Adrien Douady.
Tüm matematik eserimin ana konusu
kompleks (karmaşık) sayılar üzerinedir.
Cebirsel geometri ve dinamik sistemler teorisinin
geliştirilmesinde katkıda bulundum.
Bu sayıların uzun bir öyküsü var.
Burada, solda, Tartaglia ve Cadano’yu,
yani Renesans zamanı yaşamış öncüleri görüyorsunuz.
Sağda ise, bu teoriyi sağlamlaştıran
Cauchy ve Gauss’u görebilirsiniz.
Komplek sayılar,
düşünüldüğü kadar kompleks yani karmaşık değiller!
Önceden ``imkansız sayılar” olarak adladırıldılar
hatta bazen ``sanal sayılar” bile ismi kullanılıyor.
Ama bugünlerde bu sayılar bilimi kaplayıp
artık o kadar da esrarengiz sayılmazlar.
Asıl onlar sayesinde
güzel fraktal kümeleri elde edebiliyoruz
ve ben bu konuda çok çalıştım.
Bir film bile yönettim: Tavşanın dinamiği isimli,
matematikte animasyon filmlerin ilklerinden.
Size kompleks sayıları öncelikle tahtada anlatacağım.
Matematikçiler tebeşir kullanmayı çok severler ...
Cetvel, gönye ve iletkilerin
bazen alışılmadık davranışları olduklarını göreceksiniz...
Tahtada bir doğru çizelim.
Matematikte en güzel fikirlerden biri
geometri ve cebiri birbirine bağlamaktır.
Bu da, cebirsel geometrinin başlangıç noktasıdır.
Sayıları topladığımız gibi, noktaları da toplayabiliriz.
İşte doğrunun üzerinde kırmızı bir nokta, ve başka bir mavi nokta.
Bu iki noktayı toplayalım.
Işte yeşil nokta! bir artı iki üçe eşit!
Eğer kırmızı ve mavi nokta yer değiştirirlerse,
aynı şekilde toplamları olan yeşil noktada yer değiştirmiş olur.
Daha ilginç bir durumdur ki, noktaları carpabiliriz,
mesela -2 ile çarpımı inceleyelim.
Bu çarpım 1 noktasını tabii -2 noktasına dönüştürüyor.
-2 ile bir kez daha çarparsak,
aynı hareketi uygulamamız gerekir:
orijine göre yön değiştirmek
ve orijine olan uzaklığı iki katına çıkarmak.
4’ü elde ediyoruz tabii ki.
İki kez üst üste -2 ile çarptığımızda
4 ile çarpmış oluruz.
-1 ile çarpım çok kolay.
Her nokta orijine göre
simetriğine dönüşüyor
yani yarım kadar döndürmek,
veya 180 derecelik bir rotasyon uygulamak gerekiyor.
Eğer bir sayıyı kendisiyle çarparsak,
sonuç her zaman pozitif olur.
Örneğin, eğer -1 ile çarparsak,
yarım kadar dönmüş oluyoruz;
öyleyse ikinci bir kez tekrarladığımızda
başlangıç noktasına dönmüş oluyoruz !
Işte bu nedenle -1’in -1 ile çarpımı +1 oluyor,
bu kadar kolay.
Gördünüz değil mi? -1’in çarpımı örneğin
2’yi -2’ye dönüştürüyoruz,
bir daha -1 ile çarparsak
2’ye geri dönmüş oluyoruz.
Apaçık değil mi?
Kendisiyle çarpıldığında
-1 sonucunu veren hiç bir çarpım yok.
Bir başka deyişle, -1’in karekökü bulunmamaktadır.
matematikçilerin hayal güçleri göz önünde bulundurulmuyordu !
19. yüzyılın başında Robert Argand’ın çok güzel bir fikri oldu.
Kendi kendine, “madem eksi 1’le çarpım
180 derecede döndürmek anlamına geliyor,
karekökü onu yarısı kadar yani 90 derece kadar döndürmek demektir.
İki kere çeyrek kadar döndürürsem,
yarım kadar dönmüş olurum !
Çeyrek dönmenin karesi yarım dönme olup, bu da -1’e eşittir.”
Düşünmek yeterliydi!
Argand, -1’in karekökünün
1’in 90 derecelik rotasyon sonucu imajı olan noktaya tekabül ettiğini açıklar.
Ama tabii, bu da bizim yatay doğrunun dışına çıkmamı zorunlu kılar.
Doğrunun üzerinde olmayan düzlemdeki
noktalara bir sayı ayırmaya karar verdik!
Bu yapım biraz garip olduğu için,
karekök -1 noktasının sanal sayı olduğunu söyleriz
ve matematikçiler bunu i olarak yazarlar.
Doğrudan dışarı çıkmayı cesaret ettikten sonra
gerisi kolay sayılır.
2 i, 3 i vs. noktalarını gösterebiliriz.
Düzlemdeki her noktaya bir kompleks sayı tekabül eder
ve karşılıklı olarak, her kompleks sayı düzlemde bir noktayı ifade eder.
Düzlemdeki noktalar tamamen sayıya dönüştüler!
Bu sayılar da olağan sayılar gibi toplanabilirler.
1 + 2 i’yi gösteren kırmızı noktaya bakın.
Bu nokyayı maviyle gösterilen 3 + i noktasıyla toplayalım.
Okulda ögrencilerin ögrendikleri gibi
kolaylıkla toplama yapabiliriz.
sonuç 4 + 3 i olur.
Geometride ise, iki vektörün toplamı sonucudur.
Kompleks sayıların sorunsuz bir şekilde toplandığını görüyorsunuz!
Daha da ilginç olan,
bu kompleks sayılar aynı zamanda çarpılabilirler,
tıpkı reel sayılar gibi.
Bakalım...
Mesela bir kompleks sayıyı 2 ile çarpmasını biliyoruz.
İki kere 1 + i, tabii ki
2 + 2i eder, vs.
Geometride ise, ikiyle çarpım *** kolaydır:
2 kat genleşme olur :
kırmızı noktanın iki katı, yeşil noktadır!
i ile çarpım da *** zor değil
çünkü i’nin çeyrek dönmeye tekabül ettiğini biliyoruz.
3 + i’yi i ile çarpmak için
öyleyse, noktayı çeyrek kadar döndürmek yeterlidir.
-1 + 3 i sonucunu buluyoruz.
Bu kompleks sayılar da *** karmaşık değillermiş aslında!
Son olarak, herhangi iki kompleks sayıyı
sorunsuz bir şekilde çarpabiliriz.
Mesela, 2 + 1,5 i ile -1 + 2,4 i’yi çarpalım.
Her zamanki yaptığımızı yapıp,
önce 2 sonra da 1,5 i ile çarpıp, sonuçları topluyoruz.
Öyleyse sonuç:
“iki kere ...”
Öyleyse,
-2 + 4,8 I – 1,5 I + 3,6 çarpı i çarpı i’yi elde ederiz.
Ama i’nin karesinin -1’e eşit olduğunu hatırlayalım,
nasıl olsa biz icad ettik!
Sonuç
-2 + 4,8 i artı vs.
Bunları biraz organize edelim. Elde ettiğimiz sonuç
-2 -3,6 + 4, 8 i - 1,5 i,
yani
-5,6 + 3,3 i’dir.
Işte, artık komplek sayıları
yani bir düzlemdeki
noktaları çarpabiliyoruz!
İnanılmaz değil mi;
düzlemin iki boyutlu olmasının nedeninin
herhangi bir noktanın konumunun
iki sayıyla belirtilebilir olduğunu zannediyorduk;
şimdi ise bir noktanın yeterli olduğunu söylüyorum!
Tabii, sayılarımızı değiştirdik !
ve artık kompleks sayılarla ilgileniyoruz!
Şimdi iki kavram tanımlamanın tam zamanı.
bir kompleks sayının modül ve argümentini tanımlayalım.
bir z kompleks sayısının modülü
sadece ona tekabül eden düzlemdeki noktanın orijine olan uzaklığına eşittir.
Kırmızı noktanın modülünü ölçmek için cetveli kullanalım,
yani 2 + 1,5 i’nin modülünü bulalım.
Bakalım, 2,5’lik bir uzunluk ölçüyoruz.
2 + 1,5 i’nin modülü öyleyse 2,5’tir.
Mavi nokta için ise, 2,6 buluyoruz.
Kırmızı ve mavi noktaların çarpımı olan
yeşil nokta için ise
6,5 buluyoruz.
Genel bir olay : iki kompleks sayının çarpımının modülü
o iki sayının modüllerinin çarpımına eşittir.
Bir kompleks sayının argümenti
absis ekseni ve orijini o noktaya bağlayan doğru arasındaki
açıyı ölçerek elde ederiz.
Mesela burada, kırmızı kompleks sayısının argümenti
36,8 dereceye eşittir.
Mavi noktanınkisi ise 112,6 dereceye eşittir.
Ve çarpımlarının sonucu olan yeşil noktanınkisi 149,4 derecedir:
iki sayının argümentlerinin toplamına eşittir...
iki kompleks sayıyı çarptığımızda,
modülleri çarpılır, argümentleri ise toplanır.
Kompleks sayılarla ilk buluşmamızı
stereografik izdüşümü ile sona erdirelim.
Tahtada, orijin noktasına teğet geçen bir küreyi ele alalım.
Stereografik izdüşüm sonucu,
tahta düzleminin her noktasına
yani her kompleks sayıya
küredeki bir nokta tekabül eder.
Sadece kürenin kuzey kutubu,
yani, izdüşüm kutubu,
hiçbir kompleks sayıya eşdeğer değildir.
Sonsuza tekabül ettiğini kabul ederiz.
Böylece, matematikçiler, kürenin
izdüşüme değgin kompleks bir doğru olduğunu söylerler.
Niye mi doğru?
Çünkü bu noktaları tanımlamak için sadece bir sayı gereklidir!
Niye mi kompleks?
Çünkü bu bir kompleks sayıdır.
Niye mi izdüşüme değgin?
Çünkü izdüşüm sayesinde, sonsuza bir nokta ekledik.
Bu matematikçiler de biraz garipler değil mi?
Şimdi de kürenin bir doğru olduğunu söylüyorlar.