Tip:
Highlight text to annotate it
X
Matematiğin de sınırları var mıdır?
Matematik bir ihtiyaçtır.
Bu yüzden nerede bir medeniyet geliştiyse modern matematiğe benzer yöntemleri bulmayı başardılar,...
...sadece bunları farklı sembollerle ifade ediyorlardı.
Tüm bunlara rağmen matematik çoğu kişi tarafından korkutucu ve zor bir ders olarak bilinir.
Onu neler korkutucu kılıyor olabilir?
Matematik gözlemleyebildiğimiz kavramları incelemez.
Bu onu farklı kılan bir sebeptir.
Eski dönemlerde bilim ve felsefenin ayrılmasıyla birlikte...
...doğadaki gözlemlenebilir davranış ve durumların prensipleştirilmesi gerekiyordu.
Doğal olarak her insanda olan düşünebilme yetisinin olaylar arasında mantıklı çıkarımlarda bulunması bunu sağlamıştır.
Bu alan aslında çok daha öncesine dayanan bir tarihi olmasına rağmen...
...yaklaşık iki bin beş yüz yıl önce Pisagor ve Öklid gibi kişiler sayesinde tam anlamıyla hak ettiği değere ulaşmaya başlamıştır.
Matematiğin bir alt dalı olan geometri Pisagor'un zamanında yok gibi bir şeydi.
Böylece bugün geometrideki kabul görmüş çoğu kanunun temelinde yatan Pisagor Bağıntısı ön ayak oluşturacak bir şekilde keşfedildi.
Elbette; ''sayısal'' denilince, içinde barındırdığı ''sayı'' kavramını aslında ''Sayılar Teorisi'' üzerine kurarak yola çıkan bu alanın bir bilim olup olmadığı konusu her zaman tartışılır olmuştur...
...çünkü o insan düşüncesiyle doğup bilimsel hale getirilmiş en bariz örnektir.
Bu da doğadaki her şeyden bağımsız olarak ''teknik'' bir yöntem geliştirmemizi sağlamıştır.
Bir şeye yüzeysel bakmak yerine nicelik ve birim yönünden bakabiliriz.
Aslında fizikteki matematiksel bakış açısını da dahil edersek...
...bu alanların var olan diğer tüm alanlardan farklı olarak ''sayısal'' kavramını oluşturduğunu görürüz.
Hayatı ''Sayılar Teorisi'' fikriyle açıklamaya çalışan bu disiplinler oldukça havalıdır.
Kendi kafamızda büyüttüğümüz problemleri bugün çözemeyeceğimiz kadar zorlaştırmak da bize özgü bir davranış olmalı.
Geometride dörtgen, beşgen gibi çeşitli çokgenleri anlayabilmek için öncelikle üçgenin özelliklerini anlamak gerekir.
Tümevarım yöntemiyle gelişen bilimsel kanunlarda da olduğu gibi Pisagor ilk önce bahsi geçen ve kendi adıyla anılan bağıntıyı keşfetti.
Bu bağıntıya göre dik kenarlı bir üçgendeki bu dik açının karşısındaki kenar en uzun kenardır.
Buraya karısının ismi olan Hipotenüs'ü verdi.
Ayrıca bu dik kenarın uzunluğunun karesini diğer kenarların karesinin toplamına eşitleyebiliyorduk.
Bu üçgenlerden iki tanesini birbirine dik şekilde monte ederek yeni formüller üretilebiliyordu.
Bu, matematik tarihinin seyrini değiştirmiş buluşlardan biridir.
Bilimsel devrimleri farklı kılan şey,...
...önceden kimsenin düşünemediği ve onu bulduğumuzda gerçekten de bize yeni bir bakış açısı kazandıracak keşifleri yapmaktır.
Yani var olan kuralları evirip çevirmektense hiç düşünülmemiş bir kısa yolu aramak gerekir.
Geometriden çıkıp bildiğimiz matematiğe girecek olursak ''düz dünya'' modeliyle karşılaşırız.
Gerçekten de sonsuzmuş gibi durup ucuna gideni düşürmeyen bir kavramdır bu.
Burada karşımıza ''sonsuzluk'' ve ''sınırsızlık'' gibi kavramlarla birlikte...
...bilinmeyene ve çözülemeyene ulaşmaya çalışan araştırma alanları çıkar.
Matematiğin kusursuz olduğunu düşünüyoruz, değil mi?
Matematik yalan söylemez!
Clay Matematik Enstitüsü tarafından ''Asrın Matematik Problemleri'' adıyla ortaya atılmış yedi tane çözülemeyen matematik problemi vardır.
Bu sorular o kadar zor olarak nitelendirilir ki...
...çoğu profesör ve dahi bile bunları çözmeyi henüz başaramamışken çözmenin imkansıza yakın olduğuna inanır.
Ancak bunlardan birini, ödülü kabul etmeyip sefil bir hayat yaşamayı tercih ettiği iddia edilen Grigori Perelman çözmüştür.
Soru, bir kürenin etrafına sarabileceğimiz lastiğin bir noktaya değin küçültülebilmesinin dördüncü boyutta nasıl mümkün olabileceğini istiyordu.
İşte bu problem geometri ve matematiğin kesiştiği bir alan olan topolojiyi ilgilendiriyor.
Bugün ona yakın boyutun olması gerektiğini söyleyen felsefik ve bilimsel Sicim Kuramı gibi fikirler ortaya çıkmaya başladı.
Benzer şekilde çoğu kişi boyutları tanımlarken...
...noktanın sıfırıncı,...
...doğrunun birinci,...
...bu doğruların birleştirilmesiyle oluşan bir karenin ikinci...
...ve bu karelerin birleştirilmesiyle oluşturulan küpün de üçüncü boyut olduğunu bilir.
Peki, ya dördüncü boyut?
Burada Einstein'ın uzay-zaman tanımındaki uzayın üç boyutlu küpü temsil ettiğini düşünürsek...
...zamanın algılarımızın dışında işleyen küplerin birleştirilmesiyle oluşturulmuş tetraküpü yani dört küpten oluşan dört boyutlu bir yapıyı oluşturması gerektiği düşünülür.
İşte Perelman'ın çözdüğü Poincare Sanısı adlı çözülebilmiş problem de boyut değişikliğiyle ilgiliydi.
Ancak görüyoruz ki -onlarca boyut bir yana-...
...sadece bir üst boyutu matematiksel olarak ispatlamak için onlarca sayfa süren üst düzey matematik ispatları...
...ve yıllar süren anlama süreci gerekiyor.
Bu çözümlerin neden bu kadar uzun sürdüğünü hiç düşündünüz mü?
Bu noktada muhtemelen matematiğin beynimizle sınırlı bir yapıda olduğu fikrini incelemeliyiz.
Aslında bahsi geçen problem küre gibi kenarı olmayan şekillerin kenarı olduğunu göstermek ister...
...çünkü çözümü yapabilmek için üç boyutlu bir cismin yüzeyini iki boyutlu düşünebildiğimiz gibi...
...dört boyutlu bir cismi de üç boyutlu düşünmeliyiz.
Üç boyutlu cisimleri kolayca gözlemleyebiliyor oluşumuz...
...iki boyutu bir resim defterine çizercesine yüzeysel gözlemleyebilmemize olanak tanıyor...
...fakat bir sonraki boyuta çıkıp kendimize bakıvermek bizim nasıl görünebileceğimizi anlamamızı engelleyebilir.
Bunu basit bir mantıkla başka bir ayrıntıyla birleştirerek düşünebiliriz.
İki boyutlu çember üzerinden düşünmeye çalışalım.
Bu sefer de bir çemberin nasıl olur da eğim yaparak var olan kıvrımlı şekline kavuştuğunu incelemeliyiz.
Bunu bilgisayarda göstermeye kalksak...
...piksel gibi ''noktasal çizgi'' diyebileceğimiz birimlerin uzaktan çember şeklini oluşturduğunu görüyoruz.
Dünyada en çok oynanan oyunlarından Minecraft'ta da buna benzer bir tasarımla karşılaşırız.
Bu oyunda bir bilgisayar ekranındaki LED'lerde olduğu gibi...
...binlerce kübik birimin birleştirilip bütün bir şekle dönüştürülmesini sağlayabilirsiniz.
Gerçekte de öyle değil midir?
Her şeyin aslında atom altı parçacıkların bir araya gelmesiyle oluştuğunu keşfedip duruyoruz.
Mesela Newton'ın bahsettiği yer çekimi artık o yer çekimi değil!
Bu olayı da ''graviton'' isimli bir parçacığın yapması gerektiğini düşünüyoruz.
Uzaktan oldukça hoş görünen bir manzaranın...
...müthiş sayıda atomun birleşimiyle oluşturulmuş bir yanılsama olduğunu biliriz.
Bu durumda boyutlardan bahsederken başından beri kullandığımız nokta ve doğrusal çizgileri kullanarak bir şeyler ifade etmek mümkündür.
Tüm bunları düşündüğümüzde elimizde düz bir çizgi dışında hiçbir şey olmamalı.
Oysa bir çemberin kenarsız bir şekil olduğunu düşünürüz.
Sizce de çemberin hiçbir kenarı yok mudur...
...yoksa sonsuz kenarı mı vardır?
Matematiği incelemek için önce onun kurallarını kabul etmek zorundayız.
Bu kabuller sayesinde toplama-çıkarmayı yapabilecekken imkansız gibi duran hesapları da yapabileceğiz.
Perelman, basit gibi duran soruyu otuz üç sayfada çözmüştü.
Bu kadar ayrıntılı olmasına rağmen birçoğu çözümün yanlış olduğunu düşündü...
...ve kurum ödülü vermeyi geciktirdi.
Matematikteki kavrayamadığımız bir diğer şey asal sayılardır.
Asal sayıları 1'e ve kendisine bölebilirsiniz...
...ancak başka hiçbir sayıya bölemezsiniz.
Bu demek oluyor ki örneğin 7 sayısı sadece 7'ye ve 1'e bölünür.
Ancak bu sayıları ilginç yapan asıl şey...
...onların neye göre ilerlediğini kimsenin anlayamıyor oluşudur.
Evrene hapsolmuş insan gibi, saymaya başladığımızda onlarla tek tük karşılaşırız...
...ve bir gün öyle bir sayıya gelirsiniz ki bilgisayarlar dahi onu bölen başka bir sayının olup olmadığını anlayamaz.
Sürekli olarak her sayının nelere bölünebileceği fikrini araştırmaya kalkarsanız...
...genel bir çözüm yöntemi üretemeyeceğiniz için tıkanabilirsiniz.
Zaten bir milyon dolar ödüllü sorulardan bir diğeri de yine oldukça basit gibi duran Goldbach Kestirimi'dir.
Bu soru ''2'den büyük her çift sayı iki asal sayının toplamı şeklinde ifade edilebilir" önermesinin doğru veya yanlış olduğunu kanıtlamamızı ister.
Kesin bir cevabı olmamasına rağmen...
...(3, 5),...
...(5, 7),...
...(11, 13),...
...(17, 19),...
...(29, 31) ikilileri şeklinde ilerleyen birçok asal sayıyla karşılaşırız.
Bu durumda bir diğer soru da bu ikililerin gerçekten de sonsuza kadar böyle gidip gitmediğini sorar.
Basit bir mantıkla düzenli artış gösteren sayıların sonsuza kadar gitmesi gerektiğini düşünürüz.
Burada da sonunu kestiremediğimiz bir olayın sonunu aramakla uğraşırız.
Bu asal sayılar ve ikilileri gerçekten de sonsuza kadar gidiyor gibi görünüyor...
...ama nasıl olur da bu şekilde devam edeceğini tam olarak kanıtlayamayız?
Son zamanlarda karşılaştığımız tüm sayıların toplamının -1/12 olduğu fikri de anlaşılması zor diğer bir gerçektir.
Burada kastedilen, sonsuz bir sayı serisinin toplamından ziyade...
...bu toplamın sonucuna ek olarak -1/12'yi eklememiz gerektiğidir.
Sonuç -1/12 olmasa da bu seriden nasıl böyle bir sayının çıktığını anlamak ilk başta hayret vericidir.
Bazı şeyleri kabul ederek ilerlemek bizlerin işini zorlaştırıyor.
Son örnekte sonucun şaşırtıcı çıkmasına neden olan asıl şey de...
...yine önceden kabullenilmiş teorilerin, bizlerin yapacağı basit ispat metotlarını devre dışı bırakmış olmasıdır.
Bu durumda bu kurala uymak isterseniz herhangi bir sayıyla 0'ı bile toplayamazsınız.
Bu bir kuraldır.
Oysaki bu mantıksız gibi görünür...
...ve 0 eklemek sonucu etkilememelidir.
Sona yaklaşırken matematiğin en önemli kısımlarından birine geldik.
Matematikte mantık dışı gibi durmasına rağmen bahsi bile geçmeyen bir diğer ayrıntı da irrasyonel sayılardır.
Normal şartlarda saymaya başlarsak 1 ve 2 diye giden bir yolu izleriz.
Bir süre ise bunların negatif işaretlisinin de olduğunu...
...ve hatta nötr haldeki 0'ın var olduğunu öğrendik.
Peki, ya hiçbir zaman bu sayıların tam veya yarım olmasının neyi ifade ettiğini düşündünüz mü?
Evet, tam sayılar işimizi kolaylaştırıyor.
Saymak için onların var olması lazım.
Ancak her şeyi de tam olarak ifade edemeyiz.
Çoğu zaman daha sağlıklı ifade etmek için bunları bir virgül onda beş gibi virgülden sonraki basamak şeklinde, ondalık olarak belirtiriz.
Ancak burada da hiçbir kurala uymayan bir ayrıntıyla karşılaşırız.
Köklü sayılardan bahsediyoruz.
İki bin üç yüz yıl öncesince bile Öklid'in ispatını yapabildiği bu sayılar sinir bozucu bir diğer liste dışı ürünlerdir.
Kökten çıkamayan bu sayıları ''köklü'' yapan şey...
...onların tam olarak ne olduğunu bilmediğimizi gösteren şeydir.
Bu yüzden burada köklü sayılardan ziyade irrasyonel sayıların kendisini incelemeliyiz.
Her gün yemek yerken kullandığınız tabağın çevresini bulabilir misiniz?
Hayır.
Tam olarak bulamazsınız...
...çünkü işin içine tabağın çevresini hesaplerken kullandığınız meşhur pi sayısı girer.
Köklü sayılar gibi irrasyonel bir sayı örneği olan bu pi sayısına ne ekleyip neyle çarparsanız çarpın...
...sonucun hiçbir kurala göre ilerlemeyen komik bir sayı olduğunu göreceksiniz.
İçinde bu virüslü sayıyı barındıran bir kesirli ifade olarak ortada kalacaktır.
Ama mantıksız geliyor, değil mi?
O tabağın boyu kaç cm'dir ki?
Bunu nasıl ölçemeyiz?
Veya bir dairenin alanını neden ölçemiyoruz?
Çoğumuzun duyduğu, bir duvara hiçbir zaman ulaşamayacağımız fikri de gerçekle çelişir.
Bir duvara her seferinde bir önceki adımınızın yarısı kadar ilerleyerek gitmeye kalkarsanız...
...teorik olarak 0'a hiçbir zaman ulaşamazsınız.
Ancak gerçekte biliyoruz ki bir adımda bu işi halledebiliriz.
Hala daha tabağın boyutunu ölçememekle yuvarlağın kusurlu olduğu fikri arasında bir bağlantı vardır.
Tüm bunlar teorik uygulamaların bazı sınırlarına verilebilecek örneklerdir.
Nitekim lisede en son kısımda anlatılan integralde alan hesabı da benzer bir mantıktan yola çıkar zaten.
İntegralde çember veya dairenin yerine fonksiyon gelir.
Riemann'ın ortaya attığı bu fikre göre...
...arada kalan alanı, sonsuz incelikteki dikdörtgenlerin bu eğimi noktasal olarak doldurmasıyla başarılı bir şekilde bulabiliriz.
Bu durumda da fonksiyondaki eğime aslında hiçbir zaman ulaşamayız.
Sadece kusursuza giden yolda arada kalan boşlukları azaltmaya çalışırız.
Bundan dolayıdır ki sürekli küsüratlarla ve sonsuza giden ayrıntılarla karşılaşırız
Sonuçta her zaman bir şeyi anlamak için uğraşıyoruz.
Hala iyi durumdaysanız şunu da belirtelim:
Aslında akademik olarak matematiğin amacı da her zaman her şey hakkında bir model oluşturmaktır.
Küçük beyinlerimizle büyük dünyalar yarattığımıza inanıyoruz.
Bu yüzden evrenin geneline hükmetmek istersek...
...bunu da tek bir formülle açıklamak sıradaki hedefimiz oluyor.
Ne olursa olsun kendi çapımızda eğleniyoruz...
...ama kozmolojik ölçüde işe yarıyor muyuz kim bilir.
Artık solucan deliğine girme vakti geldi.
Sizce de matematik evrenin dili midir?