Tip:
Highlight text to annotate it
X
Birkaç video önce bir sayının 0'ıncı kuvvetinin 1 olduğunu gösterdim.
Yani x'in 0'ıncı kuvveti 1'e eşittir.
Ve size bunun neden böyle olduğunu bir örnekle açıkladım.
3'ün 1'inci kuvveti örneğini kullandım.
3'ün 1'inci kuvveti 3'e eşittir.
3'ün 2'nci kuvveti, 9'a denk gelir.
3 üssü 3 ise 27'ye eşittir
Yani ne zaman ussü bir azaltsak, aslında 3'e bölüyoruz.
27 bölü 3, 9'dur.
9 bölü 3, 3'tür.
3 bölü 3 ise 1'dir.
Bu örnek 3'ün 0'ıncı kuvvetinin 1 olmasını açıklar.
Bu sadece bir bakış açısı.
Başka bir bakış açısı ise bunu yapmamızın nedeni üslü sayıların görevlerini yerine getirmesini sağlamak.
-
Örneğin, size demiştim ki A üssü B ve A üssü C'nin çarpımı
A üssü B+C olacaktır.
Şimdi, eğer C 0 ise ne olacak?
Eğer a üssü b, çarpı a üssü 0 olursa sonucu nasıl bulabiliriz?
Bu demektir ki A üssü B+0, yani bu da A üssü B'ye eşit olur.
-
Yani A üssü B ile A üssü 0'ın çarpımının A üssü B'ye eşit olması gerekiyor.
-
A üssü B çarpı A üssü 0, cevabı a üssü b olmalı, değil mi?
B+0, B'ye eşittir.
Eğer iki tarafı da A üssü B'ye bölersek ne elde etmiş oluruz?
Sol tarafta, sadece 0 kalır, değil mi?
-
Bunlar birbirlerini götürür.
a üssü 0, 1'dir.
Bu örneği neredeyse bütün üslü sayı özelliklerinde kullanabiliriz,
yani herhangi bir sayının üssü 0 olduğunda cevap 1'e eşit olacaktır.
-
Aynı zamanda, eğer her adımda 3'e bölersek üssümüzü küçültmüş oluruz.
-
Bu yöntem çalışmaya devam eder.
3'ün -1'inci kuvvetini aldığımızıda,
en son videoda gördüğümüz gibi, cevap 1/3 üssü 1, ya da 1/3 olur.
-
Yani tekrar, 3 üssü 0'dan 1/3'e geçmek için 3'e bölüyoruz.
-
Yani gerçekten 3 üssü 1'in 0'a eşit olması bu sayede mantıklı hale geliyor.
-
Fakat bu bir boşluk yaratabilir.
0 üssü 0 kaça eşit olacak?
Bu değişik bir kavram.
0 kendisi tarafından 0 kere çarpılır.
Ve hangi bağlamı kullandığınıza göre değişir.
Tecrübeme göre birçok kişi bunun tanımsız olduğunu söylerken, çoğunluk
bunu 1 olarak tanımlamıştır.
-
Bunun sebebi ise, Çok geçerli olmasada
Google'a 0 üssü 0 yazdığınızda
cevabın 1 olduğunu görürsünüz.
0 üssü 0'ın 1 olmasının sebebi
birçok formülde işe yaramasıdır.
-
Özellikle de ikiterimli formüllerde ve iki terimli katsayılarda işe yarar,
ancak bunun üzerinden şimdi geçmiyeceğim,
0 üssü 0, 1'e eşit olur.
Bunun ne anlama geldiğini düşünmek sizin için ilgi çekici olabilir.
-
Başka özellikler hakkında konuşalım.
Daha sonra bütün hepsini bir kaç problem üzerinde
bir araya getirebiliriz. En son videoda size negatif üsse yükseltmenin
ne demek olduğunu göstermiştim.
A üssü -1 ya da A üssü -B demek daha iyi olabilir.
eşittir 1/A üssü B.
Bunu birkaç somut örnekle gösterelim;
3 üssü -3 eşittir 1/3 üssü 3
bu da 1 bölü 3'ü 3 kere kendisi ile çarpmamıza eşittir. (1/3x1/3x1/3)
yani 1/27'ye eşittir.
Eğer size 1/3'ün -2'nci kuvvetini sormuş olsaydım
bu da 1 bölü 1/3'ün 2. kuvveti olacaktı.
-
Negatiften kurtulup tersini alırız.
Yani bu, 1 bölü--
1/3 çarpı 1/3 kaç eder?
1/9
Bu da bu 1 bölü 1/9,
9'a eşittir.
Bu tam anlamıyla mantıklı bir işlem çünkü, 1/3
3 üssü -1 ile aynı şeydi değil mi?
3 üssü -1 eşittir 1/3 üssü 1
yani 1/3 ile aynı şey.
Yani, eğer 3'ü 1/3'ün yerine koyarsak, bu 3 üssü -1'in 2. kuvvetidir.
-
Bunların ikisi eşdeğer ifadelerdir.
Eğer ilk videoda öğrendiğimiz özelliklerden
bir tanesini kullanırsak, bu iki kuvvetin çarpımını alabiliriz.
-
3 üssü -1 çarpı 3üssü -2
yani sadece positiv 2'dir, cevap ise 9'dur.
Bu üslü ifadelerinin biribiriyle uyuşması güzeldir.
Birbirleri ile çelişmezler.
-
Ve delice bir şey yapmadığınız sürece, hangi özelliği
kullandığınız fark etmiyor, sonunda doğru cevabı bulursunuz.
-
Ve son olarak kesirli üs kavramını
açıklığa kavuşturmak istiyorum.
Örneğin, bir sayının kesirli kuvveti varsa elimde, ya da şöyle diyelim,
elimizde a üssü 1/b var.
Bunu size tanımlaacağım.
Bu a'nın b köküne eşit olacak.
Burda açık olayım.
Bir de sayıları kullanarak yapalım.
Eğer 4 üssü 1/2 deseydim,
sonuç 4 kare kök'e eşit olacaktı.
Bu da, kökünü alırsak,
2'ye eşit demektir.
Eğer 8 üssü 1/3 deseydim,
bu 8'in küp kökünü almak olurdu.
Ve bu da, belli bir seviyede, üslülerde en çok
karıştırılan şey olabilir.
Burada diyorum ki, hangi sayıyı 3 kere kendisiyle çarparsak
8'e eşit olur.
Eğer X eşittir 8 üssü 1/3 deseydim,
bu X küp eşittir 8 demekle aynı şeydir.
-
Bunların denk ifade olduklarını nereden biliyoruz?
Denklemin her iki tarafının da kübünü alabilirim.
-
Eğer sol tarafın kübünü ve sağ tarafın kübünü alırsam ne elde etmiş olurum?
-
Sol tarafta X'in kübünü almış olurum.
Sağ tarafta ise 8 üssü 1/3'ün kübü, açarsak 8 üssü 1/3 çarpı 3 olur.
Bu da sadece 3/3 yani 1 eder.
Yani eğer X, 8 üssü 1/3'e eşitse X nedir?
2 çarpı, 2 çarpı, 2 8 eder.
Aslında çok kolay bir yöntemi yok, özellikle de
dördüncü kök ya da beşinci köklerle işlem yaptığımızda,
hesaplamalara ondalıklar giriyor.
Bunları yapabilmek için çoğunlukla hesap makinesine ihtiyaç duyacaksınız.
Ama elinizde eğere 8 üssü 1/3 ya da 16 üssü 1/4 ya da
27 üssü 1/3 varsa bunları hesaplamak o kadar da zor değildir.
Burada açık olayım; bu 2'dir.
Şimdi biraz daha kafa karıştırıcı yapalım.
27 üssü -1/3 kaçtır?
Sakın endişelenmeyin.
İşlemi adım adım yapacağız.
Eğer negatif kuvvetini alırsanız bu tamamiyle
1/27 üssü 1/3'tür.
Bu ifadeler denktir.
Negatiften kurtulup
bütün ifadeyi 1 bölü şeklinde yazıyorsunuz.
O zaman 27 üssü 1/3 kaçtır?
Hangi sayıyı kendisiyle 3 kere çarparsanız 27 elde etmiş olursunuz?
Bunun cevabı 3'tür.
O zaman bu da 1/3'e eşit olacaktır.
Hiç de fena değil.
Şimdi bunu soruyu başka bir seviyeye taşıyacağım ve sizin için
daha da kafa karıştırıcı yapacağım.
Biraz ilginç şeyler yapayım.
8 üssü 2/3 kaçtır?
Bu biraz korkutucu gözüküyor.
Sadece üslü kurallarını kullanmakla aynı şey olduğunu
unutmayın, bu 8 in karesinin
1/3'üncü kuvvetiyle aynı şeydir.
Bunu nerden biliyorum?
Eğer bu iki üssü birbiryle çarparsam 2/3 elde ederim.
O zaman 8 üssü 2/3, 8 in karesinin 1/3'üncü kuvvetidir.
-
Bunu başka şekilde de yazabilirsiniz.
Bu aynı zamanda 8 üssü 1/3'ün karesi şeklinde de olabilir.
Çünkü her iki türlü de üsleri birbiriyle çarptığınızda,
8 üssü 2/3 elde edersiniz.
Gerçekten de aynı sayıyı mı elde ettiğimizi bir kontrol edelim.
-
8'in karesi 64 eder.
Şimdi de bu sayının 1/3'üncü kuvvetini alacağız.
Burada da 8 üssü 1/3 var.
Bunun ne olduğunu zaten bulduk.
Bu 2'dir çünkü 2'nin kübü 8'e eşittir.
Bu da 2'nin karesi olur.
64 üssü 1/3 kaçtır?
Hangi sayıyı kendisiyle 3 kere çarparsak 64 elde ederiz?
4 çarpı 4 çarpı 4, 64'e eşittir ya da
4'ün kübü 64'e eşittir, bu da demektir ki
64 üssü 1/3, 4'e eşit.
Bu 4'e eşitmiş
Şanslıyız ki 2'nin karesi de 4.
Bu da demektir ki hangi yolla yaptığınız sonucu değiştirmiyor.
Önce karasini sonra küp kökünü bulabilirsiniz ya da
önce küp kökünü alıp sonra karesini alabilirsiniz.
Aynı cevabı bulacaksınız.
Şimdiye kadar yaptığım her şeyde sayıları kullandım.
-
Şimdi de değişkenleri kullanarak şimdiye kadar kullandığımız özelliklerle ilgili
bir kaç problem çözelim.
Diyelim ki, bir kaç ifade kullanmak istiyorum
ancak cevabımda negatif üs olmasın.
.
x üssü -3 bölü x üssü -7'yi çözelim.
Bunu bir çok şekilde yazabiliriz.
bunu x üssü -3 çarpı 1/X üssü -7 şeklinde yazabiliriz.
-
O zaman 1 bölü x üssü -7 kaçtır?
Bu X üssü 7 demekle aynı şeydir.
Eğer elimizde 1 paylı bir ifade varsa, 1 paydan kurtulup
üsün yanına - koyabiliriz.
Ama eğer -7'nin önüne negatif (-) koyuyorsak
X üssü 7 elde etmiş oluruz.
O zaman bu X üssü -3 çarpı X üssü 7'ye sadeleştirebiliriz.
-
Sonra da üsleri toplarız, bu da X'in 4. kuvveti olur.
-
Üsleri birbirinden çıkarmak ise başka bir yoldur.
-
Şöyle diyebilirdik, bakın bunların tabanları aynı.
O zaman X üssü -3 eksi -7 diyebiliriz.
-
Negatif 3 eksi negatif 7, negatif 3 artı 7 demektir, ki bu da X üssü 4 eder.
-
Son yöntem olarak ise, aslına bakarsanız birkaç farklı yöntemimiz var.
-
X üssü -3 bölü
X üssü -7
-
-.x üssü -3, 1/X üssü 3 demekle aynı şeydir--
buradaki terim, çarpı 1/X üssü -7
o zaman bu da 1/X üssü 3 çarpı X üssü -7 olacaktır.
-
Üsleri toplayabilirsiniz, bu da 1/3 eksi 7 yani X üssü -4'tür.
-
Eğer sadece ters ifadeden kurtulabilirsek,
eğer tersini alırsak, negatifi bu negatifin önüne koyarız
yani pozitif yapmış oluruz, ki bu da demektir ki cevap
X üssü 4'e eşittir.
Yani hangi yolla yaparsak yapalım, üslü sayı kurallarına uyduğumuz sürece,
X üssü 4 elde ederiz.
Bir tane daha zorlayıcı soru yapalım.
Bunu da yaparsak şimdilik iyiyiz demektir.
Diyelim ki 3X'in karesi çarpı Y üssü 3/2.
Bunu da X çarpı Y üssü 1/2 ile çarpacağız.
Tekrardan, bu 3 çarpı X terimi demekle aynı şeydir,
yani 3 çarpı X'in karesi bölü X, çarpı
Y üssü 3/2 bölü Y üssü 1/2.
Bu da 3 çarpı--
X kare bölü X kaçtır?
Ya da X kare bölü X üssü 1?
Bu X üssü 2 eksi 1'e eşittir.
Bu da çarpı Y üssü 3/2 eksi 1/2'dir.
O zaman bunun tamamı kaç eder?
3 çarpı X eder.
2 eksi 1 sadece 1'e eşittir---buraya sadece x yazabilirim--çarpı 3/2
eksi 1/2 de 2/2'dir.
Yani Y üssü 2/2.
2 bölü 2 yada 2'de 2'dir ki buda Y ile aynı şey.
Bu 3XY'ye eşittir.
Sizi böyle daha çok problem yapmaya
teşvik ediyorum.
Ama, bu son birkaç videoda öğrendiğimiz kuralları kullanarak
herhangi bir üslü sayı ifadesini sadeleştirebilir durumdasınız.
-
Birkaç video önce size 0'ın üsde ise cevap 1'dir.