Tip:
Highlight text to annotate it
X
Dördüncü boyut (devamı)
Üç boyutlu uzay iki boyutlu olan S2 küresini kaplar.
Aynı şekilde, dört boyutlu uzayın
küresini inceleyebiliriz.
Bu küre merkeze aynı uzaklıkta olan noktalar kümesidir.
Ama, bu yeni kürede bir noktanın konumunu belirtmek için
artık bize üç nokta gerekiyor.
Bu küre öyleyse üç boyutludur,
ve tabii S3 isimini alır.
Uzayınız üç ve ekranınız iki boyutlu
oldugu için dört boyutlu uzayda
bu üç boyutlu küreyi görmek
mümkün değildir!
Bunun için, hayal gücünüzden yararlanmanızı rica ediyorum.
4 boyutlu çokyüzlü cisimleri iyi anlamak için,
sürüngenlerin üç boyutlu çokyüzlü cisimlerle
yaptıkları gibi bir uygulama yapacağız.
Kürenin üzerinde onları şişirip,
bir düzlemde stereografik izdüşümlerini bulacağız.
Burada, çokyüzlü cisimleri dört boyutlu uzayda
yüzlerinin S3 küresine gelene
kadar şişirip
üç boyutlu uzayda
stereografik izdüşümlerini alacağız.
Kuzey kutubuna çıkıp
sizin için üç boyutlu uzayınızdan
gördüğünüzün izdüşümünü alacağım.
Size nerede olduğumu gösteremiyorum
ama siz de aralarından birinin
çıkıntıya geçtiğini göremeyen sürüngenleri düşünün.
Tam olarak aynı durumla karşılaşıyoruz.
Işte sempleks.
5 köşesini ve
10 kenarını rahatlıkla görebiliyoruz.
Tabii, bu bakış açısından, kenarlar çember yaylarına dönüşüyorlar.
Bu durum da bir düzlemde stereografik
izdüşümü alınan üç boyutlu çokyüzlü cisimlerin
durumuna benzer oluyor.
Işte hiperküp.
32 kenarı ve 16 köşesiyle
onu kolay tanıyabiliyoruz.
Üç boyutlu uzayda kullanılan gölge veya kesit yöntemlerine göre
bu yöntemin anlaşılması daha kolaydır.
Işte 24 köşesi ve 96 kenarıyla
şekil 24.
Şekil 120,
Ve son olarak 600.
Daha iyi anlamak için iki boyutlu yüzleri ekleyelim.
Işte 10 üçgen yüzüyle birlikte,
sempleks.
Tabii, kenarların çember yayları olduklarını belirttiğimiz gibi,
iki boyutlu yüzler de küre parçaları olarak görülüyor.
Stereografik izdüşümü alınmadan önce,
dört boyutlu uzayda sempleks döndürülüyor.
Yeryüzünü bir top gibi yuvarladığımızı
kıtaların hareketlerini incelediğimizi anımsayın.
Bazı zamanlar, bir yüz izdüşüm kutubundan
geçtiği için, izdüşümü sonsuz oluyor:
Ekranda patladığı düşünülüyor.
hiperkübe bir göz atalım.
Uzayın, hiperkübün üç boyutlu yüzleri oluşturan
8 kübik bölgeye
ayrıldığını görüyorsunuz.
Iki boyutlu yüzler ise,
az çok bombeli veya bükülmüş karelerdir.
Bunlardan 24 tane bulunmaktadır.
Benim favorim! 24!
Hayran kalın!
24, harika bir eser
24 köşe, 96 kenar, 96 üçgen ve 24 oktaedra.
Her köşeden sekiz kenarın çıktığını görüyoruz.
Işte yapısını daha iyi
anlayabileceğimiz 120.
Her köşeden 4 kenar çıkıyor.
İki boyutlu yüzleri beşgenlerdir.
Bunlardan 720 tane var!
Bu 720 beşgenin 120 dodekaedraya bağlılar.
Üst üste kurulmuş
dodekaedralara hayran kalıyorsunuz değil mi?
Büyüleyici değil mi?
600’le bitirelim;
tetraedra şeklindeki 600 yüzü ve
1200 üçgen yüzü
720 kenarı ve 120 köşesi var.
İnanın, bu cisimi
4 boyutlu uzayda koruyan 14400 simetri bulunuyor!
Dördüncü boyutun keşfinin
birinci bölümünü burada bitiriyoruz...
Bu boyut birçok harikalar içeriyor.
Ama tabii ki, matematikçilerin hayal güçleri
dördüncü boyutla sınırlanmıyor.
Beşinci, altıncı,
n’inci boyut ve hatta
sonsuz boyut bile bulunuyor!
Her boyutun kendi özellikleri olmasına rağmen,
dördüncü boyutun aralarında en güzeli olduğunu itiraf etmek gerekir.
Neden mi? sonuç olarak fiziksel
bir gerçekliği olduğu için olabilir...
Einstein’ın
yirminci yüzyılın başı tarihli göreceli teorisi
uzay ve zamanın bir şekilde
4 boyutlu bir uzay-zamanda karıştığını belirtir.
Bu uzay-zamandaki bir nokta,
uzaydaki x,y,z konumu
ve oluştuğu t zamanı ile belirtilen bir olaydır.
Göreci fiziği uygulamak için
dördüncü boyuta egemen olmak gerekir.
Dört boyutlu geometrinin buluşunun
görecenin buluşundan elli yıl
önce gerçekleştiğine
dikkatinizi çekerim.
Yine, bilim tarihinin bayıldığı fizik ve matematik arasında
küçük bir gel-git, alış-veriş, olayı.