Tip:
Highlight text to annotate it
X
48. sorudayız
x kare artı x in toplamının 42 olduğu verilmiş.
önce bunu bi yazalım.
x kare artı x eşittir 42,
Aşağıdakilerden hangisi x in alabileceği değerdir?
aslında tek istenilen bu eşitliği çözmemiz
Bunu yapmanın en kolay yolu
denklemi sıfıra eşitleyip çarpanlarına ayırmak.
Bunu x kare artı x eksi 42 eşittir sıfır şeklinde yazabiliriz.
.
Bir düşünelim.
hangi iki sayıyı topladığımda 1 çarptığımda ise eksi 42 elde edebilirim?
.
Çarpımlarının eksi 42 olması, sayılardan biri pozitifken diğerinin negatif olduğu anlamına gelir.
.
.
bu iki sayıyı çarptığında sonucun negatif olmasının tek yolu.
.
Böylelikle sayılardan biri pozitif,diğeri negatif olmak zorunda.
.
Biri pozitif diğeri negatif iki sayıyı topladığımızda ise aslında bu ikisi arasındaki farkı bulmuş oluruz.
.
Yani bu iki sayının farkı 1, çarpımları ise 42 olmalı.
.
Ve şunun farkına vardım ki, 42 yi görür görmez, oh 6 ve 7.
.
6 çarpı 7 eşittir 42.
Bu sayıları topladığında 1, 7 pozitif olacak, 6 da negatif.
.
.
Hadi deneyelim.
x artı 7 çarpı x eksi 6 eşittir sıfır.
Evet, 7 çarpı eksi 6 eşittir eksi 42.
Gerçekten de 7x artı eksi 6x eşittir x.
Ya da 7 artı eksi 6 x in katsayısına eşit olacak ki o da eksi 1.
.
Her yoldan, doğru oluyor.
Bu değerleri çarpmayı deneyelim.
Bunları boşuna söylemiyorum.
Bunları toplayıp 1 bulmamız ve çarpmamız, bizi ifadeye ulaştıracak.
.
.
7 çarpı x artı eksi 6 çarpı diğer x.
Bu ifadeyi belirleyenler bunlar.
Bu ifade x çarpı x den geliyor.
eksi 42 de 7 çarpı eksi 6'dan.
Neyse, biz henüz buradayız.
İki ifademiz var, ve çarpımları 0 olacak.
.
Bu da iki ifadenin ikisinden birinin veya ikisinin birden 0 olacağı anlamına gelir.
.
Ve yine, x artı 7 eşittir 0 için de iki taraftan 7 çıkar.
.
x eşittir eksi 7.
Ya da x eksi 6 eşittir 0.
iki tarafa da 6 ekle,
x 6 ya da eksi 7 olacak.
Şıklarda bunlardan biri olacak.
Cevap A.
Sonraki problem,
49.
Bu ifadeye hangi değer eklenmeli ki ifade kareye tamamlansın?
.
Burada istedikleri bu ifadeyi "tam kareye" tamamlamamız.
.
.
Tam kare diyerek, neyi kastediyorum?
eğer elimde (x çarpı a) nın karesi olsaydı bu x artı a çarpı x artı a olacaktı.
.
Ve de x çarpı x eşittir x in karesi.
x çarpı bu a eşittir ax.
Bu sefer bu a çarpı bu x.
Başka bir ax.
a çarpı a yı topla.
bu da a kare.
Bu da eşittir, x kare artı 2 ax artı a kare.
.
Basitçe, yukarıya bu hale sokuyoruz.
.
Buna tam kare denir.
Bu ifadenin x artı a nın karesine eşdeğer olduğunu söyleyeceğiz.
Şimdi bunu nasıl yapacağımızı düşünelim.
Eğer elimizde x kare eksi 8 x eşittir 5 varsa, tam kareye tamamlayabilmek için buraya bir şeyler eklemek zorundayım, o yüzden boşluk bırakıyorum.
.
.
Hadi düşünelim.
Bu haldeyken, tam kareye çevirebilmek için, buradaki katsayı ne ise buradaki onun yarısının kare olacak.
.
.
a kare eşittir 2a nın yarısının karesi.
Eğer sekizin yarısının alırsak ki bu da eksi 4.
Bu durumda, eğer 2a eşittir 8 dediysek, a eşittir eksi 4.
.
eksi 4 ün karesi kaç?
16.
Ve bu bir denklem.
Denklemin iki tarafı da birbirine eşit olacak.
.
O zaman burası buraya eşittir diyeceğiz.
O zaman iki tarafa da 16 ekleyelim.
Öbür türlü denklemi değiştirmiş oluruz.
Fark ettiğinizi umuyorum, bu bir tam kare oldu.
.
Bu modele bakarak tahmin edebilirsiniz,
Tamam, eğer eksi 4 ü iki kez toplarsam eksi 8 e ulaşırım.
kendiyle çarparsam da 16'ya.
Bu da x eksi 4 ün karesi.
Eşittir 25.
Aslında, merak ediyorsanız, başka videolar da var, ikinci dereceden denklemler konusunda birkaç video daha hazırlamıştık.
.
.
Aslında a, b ve c sayılarını vererek kareye tamamlıyorsunuz, ve ikinci dereceden denklemler elde ediyorsunuz.
.
Bildiğiniz gibi, on dakikada anlatıyoruz, anlaması çok zor konular değil.
.
Bilmek istedikleri yalnızca iki tarafa da neyi eklediğimiz.
.
Denklemin her iki tarafına da hangi değer ekleniyor?
.
cevap 16.
Kareye tamamla demek bununla eşdeğer.
.
Ve diyeceksin ki (x eksi 4) ün karesi eşittir 25
yani, x eksi 4 eşittir eksi 5 ya da eksi 5.
ya da x in eksi 5'e ya da 4'e eşit olduğunu söyleyebilirdik.
.
Ve sonra 4 artı 5 eşittir 9.
.
dört artı eksi 5, ya da -1
Her neyse, bize bunu sormadılar. O yüzden bunun üzerine çok kafa yormayalım.
.
.
Problem 50 ye bakalım.
.
50 ve 51 i kopyalayıp, yapıştıracağım.
x kare a 6x eşittir 16 nın çözüm kümesi nedir?
.
Buradaki tuzak, doğrusal bir denklemmiş gibi çözdürülmeye çalışılması.
.
x çarpanlarına ayırma, ya da her neyse.
.
Fakat önemli olan nokta, bunun ikinci dereceden bir denklem olduğunu anlamak.
.
Bunu yapmanın en kolay yolsa bir tarafta sıfır bırakmak.
.
Bundan sonra çarpanlarına ayırmak.
.
Ya da tam kareye tamamlamak.
İki taraftan da 16 çıkaralım.
Buradan x kare artı 6x eksi 16 eşittir sıfıra ulaşıyoruz.
İki taraftan da 16 çıkardım.
İkinci dereceden denklem olarak incelemeden önce bir kontrol edelim.
.
Hangi iki sayıyı topladığımızda 6 ya, pozitif 6 istiyoruz, ve çarptığımız 16 ya eşit olur?
.
Ve bir kez daha, eğer eksi 16 varsa, iki sayıyı çarptığımızda negatif bir sayı elde edeceğiz.
.
İki sayının işaretleri farklı olmalı.
Biri pozitif, diğeri negatif olmalı.
Ve farkları, 6 olmalı, çünkü biri pozitif, diğeri negatif.
.
Düşünmeme izin verin.
Eğer, eksi 8 ve 2 olsaydı 16 olacaktı.
Farkları da 6.
o zaman 8 çarpı eksi 2, doğru.
8 eksi 2 eşittir 6.
o zaman x çarpı 8 artı x çarpı 2.
Bunun için pratik yapmak gerekiyor.
Diyeceksiniz tamam, hangi iki sayı?
16.
Tamam
8 ve 2.
Fakat, işaretleri farklı olmalı.
Fakat burada pozitif bir sayı var, bu da pozitif olanın daha büyük olacağı anlamına geliyor.
.
O zaman pozitif 8 ve eksi 2.
ikisini topladığımızda eksi 6 ya eşit oluyor.
Doğru oldu..
Bunu sıfıra eşitledik.
Tamam, burası 0 a eşitse, burası da olmalı.
.
x eksi 8 olacak.
eğer x artı 8 eşittir 0 dersen, iki taraftan da 8 çıkar, eksi 8 bulursun.
.
Bu adımı geçmemem gerekiyordu.
Bu yüzden buraya çiziyorum.
Ya da x eksi 2 eşittir 0 deriz.
iki tarafa da 2 ekle, x eşittir 2.
Bu ifadeyi 0 yapan nedir?
İnceleyebilirsiniz
x ya eksi 8 ya da iki, cevap C.
Problem 51.
Leanne, x kare artı 4x eşittir 6 denklemini tam kareye tamamlayarak çözdü,
.
Hangi denklem onun çözümünün bir parçasıdır?
Aynı şeyi yapacağız.
x kare artı 4x.
tam kareye tamamlarken buralara bir şeyler ekleyeceğiz.
.
Burada boşluk bırakıyorum.
6 ya eşit.
Buraya ne eklemeliyim ki ifade tam kare olsun?
.
Birkaç problem önce bir modelimiz vardı.
.
Burası her neyse, buranın yarısının karesi olacaktı.
Yani 4 ün yarısı 2.
2 nin karesi 4.
Bu yüzden bu tarafa 4 ekleyeceğim.
Bu tarafa 4 eklersek, diğer tarafa da eklemek zorundayız.
.
2 artı 2 eşittir 4.
2 çarpı 2 eşittir 4.
bu x artı 2 nin karesi.
Sezmenizi istiyorum.
Tam kareye tamamlamak için kademeleri akılda tutmanıza gerek yok.
Bunun neden bunun yarısının karesi olduğunu anlamanızı istiyorum.
.
Videonun başında gösterdik.
İki terimli ifadelerin çarpımında hep bu durumu kullanacağız.
.
Yani bu x artı 2 nin karesi.
Yani bu da, 6 artı 4 eşittir 10 olacak.
cevap B.
Bir tanesi için daha zamanımız var.
Bir tane daha problem, 52.
Kopyalayıp yapıştırdım.
Carter, bu denklemi çarpanlarına ayırarak çözüyor.
Bu çarpanlardan hangisi onun bulduklarından bir tanesidir?
Bir kez daha, Bunların en büyük ortak katlarını bulalım.
.
Hepsi 5 e bölünebiliyor.
Kafamdan sadeleştirdim.
Hepsini 5 e böldüm, 0 bölü 5 eşittir 0.
.
.
5 e böldükten sonra, sol taraf 2x in karesi eksi 5x artı 3 eşittir 0 oldu.
.
2x in karesi, iki sayı var çarptığımız 3 eşit, bunun üzerine düşünelim.
.
.
Buraya yazayım çünkü boşluğa ihtiyacım olacak.
.
2x kare eksi 5x artı 3 eşittir 0.
Denklemin iki tarafını da 5 e bölerek bu ifadeye ulaştım.
.
Burada ne yapabileceğimiz görelim.
2x kare var, ve tam sayı bir sonucumuzun olduğu gösterilmiş, bunu çarpanlarına ayırabiliriz.
.
.
Sezgilerime göre 2x artı bir şey.
.
artı a.
çarpı- çarpı kaç?
çarpı x.
2x çarpı x eşittir 2x in karesi.
Eğer bunun çarpanlarına ayrılabildiği söylenmesi, bunun farkına varmak o kadar da kolay değildi.
.
İkinci dereceden bir denklem kullanabilirdik ya da bunun gibi bir şey.
.
Aslında, ikinci dereceden denklemler, çok basit soruların çözümleri için kullanılmamalı.
.
.
Bakalım anlayabiliyor muyuz.
2x çarpı bir şey artı x artı bir şey daha.
.
Eğer bunları çarparsak 2x in karesini elde ederiz.
.
2x çarpı b eşittir 2bx.
a çarpı x eşittir ax.
a çarpı b eşittir ab.
Ne bulduk bir bakalım.
2b artı ax artı ab
2x kare.
tamam, modelimizle eşleştirebiliriz.
Orijinal hali bu.
O zaman, 2 çarpı b artı a eşit olmalı, yani burası, buraya eşit olmalı.
.
Ve buradaki ifade de buradaki ifadeye eşit olmalı.
.
İlk olarak burada 3 var.
İki sayıyı çarparak 3 e ulaşıyorum.
O zaman ikisi de pozitif veya ikisi de negatif olmalı.
Diğer ilginç nokta, ikisini toplayıp iki ile çarptığımda negatif bir sayı elde etmem.
.
.
Negatif sayılardan bahsediyorsak, bu sayıları pozitif bir sayıyla çarpıp ve birbiriyle toplayıp negatif sayı elde ediyorsak, ikisi de negatif olmalı.
.
.
.
Bunun pozitif olması ikisinin de negatif olması gerektiğini gösteriyor.
.
Ve, sonra eksi işareti olmadan toplayıp negatif bir sayı elde ediyorsan, ikisinin de negatif olması gerekiyordur.
.
.
Görelim.
3 için deneyelim, eksi 3 ve eksi 1.
eğer eksi 3 ve eksi 1.
Evet doğru.
.
Eğer b eksi 1 eşit olursa ve a eksi 3 e eşit olrusa, 2 çarpı eksi 1, eksi 2 ye eşit olur.
.
eksi 3.
Evet, böylece, b eksi 1 e eşit, a eksi 3 e eşit.
Bu onun biraz daha sanatsal hali.
Bunun tekniği bu.
.
İkinci dereceden denklem ayırma metodunun kullanmak bu problemi çözmenin en kolay yolu.
.
Artık a ve b' yi biliyoruz.
Yani, a eşittir eksi 3.
2x eksi 3 çarpı x artı b. b eşittir eksi 1.
Çarpanlarına ayırma dediğimiz olay bu.
2x eksi 3 çarpı x eksi 1 ise şıklardan hangisi?
Burdaki.
2x eksi 3.
Videonun sonuna geldik.
Diğer videolarda görüşmek üzere.