Tip:
Highlight text to annotate it
X
Bir önceki videoda, doğrunun bir vektörün skalerle çarpımı olarak tanımını görmüştük.
-
-
Skaler, herhangi bir reel sayı olacak.
-
-
-
Bu L doğrusu üzerine izdüşümü bir transformasyon olarak tanımlamıştım.
-
O videoda R 2'de transformasyonlar çizmiştim, ama genelde R n'den R n'ye transformasyon olabilir.
-
x'in L üzerine izdüşümünü, x'in bu tanım vektörüyle iç çarpımı olarak tanımlamıştık.
-
x'le bu tanım vektörünün iç çarpımı, bölü tanım vektörünün kendisiyle iç çarpımı.
-
Çarpı doğrunun tanım vektörü.
Tanımımız böyleydi.
Bunu gördüğünüzde, aklınıza bazı şeyler gelmiş olabilir.
-
Bir vektörün kendisiyle iç çarpımını aldığınızda, bu neye eşit olur?
Bir vektörün kendisiyle iç çarpımı, vektörün uzunluğunun karesine eşit olur.
-
-
Bunu da x iç çarpım v, bölü v'nin uzunluğunun karesi, çarpı v olarak tekrardan yazarız
-
v'nin uzunluğu 1 olsa, ne iyi olurdu.
-
v'nin uzunluğu 1 olsaydı, v'ye birim vektör derdik.
-
İzdüşüm formülümüz, x iç çarpım v çarpı, bu sadece bir skaler, çarpı v olurdu.
-
-
-
Peki, birim vektör olup olmadığını nasıl anlarız?
-
-
Doğruyu şöyle çizeyim.
-
Doğru, içindeki v vektörü cinsinden tanımlanabilir.
Doğrunun içindeki herhangi bir vektörü alabiliriz.
v vektörü şöyle olabilir.
Diyelim ki, birisi size birim vektör olmayan bir v vektörü veriyor.
-
v'nin uzunluğu 1'e eşit değil, diyelim.
Bir doğruyu birim vektör cinsinden nasıl tanımlarsınız?
v'yi normalize ederiz.
Bir birim vektör tanımlarız.
-
Buna u diyelim ve u birim vektör olsun.
1 bölü v'nin uzunluğu çarpı v'ye eşit.
Bunu size birim vektör videosunda göstermiştim.
Bir vektörle aynı yönde bir birim vektör elde etmek için, vektörü uzunluğuna bölmek veya vektörü 1 bölü uzunluğuyla çarpmak yeterli.
-
-
-
Genelde, doğruyu yeniden tanımlayabiliriz.
v'nin tüm skaler katları, birim vektörünün de skaler katı olacak, çünkü u v'nin skaler katı.
-
-
Doğrumuzu yeniden tanımlayabiliriz.
Eğer L doğrusunu, birim vektörün skaler katları olarak tanımlarsak, izdüşüm tanımımız çok basitleşir.
-
-
-
x'in L üzerine izdüşümü, x iç çarpım birim vektör, çarpı birim vektör olur.
-
Bir önceki videoda doğruyu tanımlayan vektöre, 2, 1 demiştik.
-
-
-
x vektörü de 2, 3'tü.
Bu tanımı kullanmak istiyorsanız, bunu birim vektöre çevirmeniz gerekiyor.
-
Önce vektörün uzunluğunu bulursunuz.
-
v vektörünün uzunluğu eşittir 2 kare artı 1 karenin karekökü.
-
-
Şöyle yazayım.
Karekök, 2 kare artı 1 kare, yani kök 5.
-
Birim vektör u eşittir 1 bölü bu çarpı şu.
-
1 bölü kök 5 çarpı 2, 1.
Çarpabilirsiniz veya bu şekilde bırakabilirsiniz.
-
Sıfırdan farklı her vektör için, aynı yönde bir birim vektör bulabiliriz.
-
-
Böyle herhangi bir şeyi şöyle bir şeye indirgeyebilirsiniz.
-
v'nin birim vektör versiyonunu bulabiliriz.
-
Bunun R n'den R n'ye bir transformasyon olduğunu söylemiştim.
-
Ama lineer transformasyon olup olmadığından emin değiliz.
-
-
Lineer transformasyon olup olmadığını inceleyelim.
-
Lineer transformasyonun iki koşulu var.
İki vektörün L üzerine izdüşüm vektörünü alalım.
-
a vektörü artı b vektörü.
Vektörlerin toplamı.
Bu, lineer transformasyon ise, izdüşümlerin toplamına eşit olmalı.
-
-
Bakalım, böyle mi.
Daha kolay olduğu için, birim vektör versiyonu kullanalım.
-
a artı b, yani x'imiz, iç çarpım u.
Bunun tamamı çarpı birim vektörümüz.
İç çarpımın dağılma özelliği olduğunu biliyoruz.
Yani bu, eşittir a iç çarpım u artı b iç çarpım u.
Bunlar birim vektör.
Bunun tamamı, çarpı u.
Bunlar skaler sayılar.
Skalerle çarpmanın da dağılma özelliği var.
Bu, eşittir a iç çarpım u, çarpı u vektörü.
Unutmayın, bu, skaler olacak.
Artı b iç çarpım u çarpı birim vektör u.
Bu, neye eşit?
Bu, a'nın izdüşümüne eşit. Tanım olarak, a'nın L üzerine izdüşümüne eşit.
-
-
Bu tanıma göre.
Doğrunun birim vektörü tanımını kullandığımızı düşünüyoruz.
-
Bunun tamamı da, artı b vektörünün L üzerine izdüşümü.
-
Lineer transformasyonun birinci koşulunu sağlamış olduk.
-
Vektör toplamının izdüşümü, izdüşümlerin toplamına eşit.
-
İkinci koşula göre ise, skaler katın izdüşümünün, izdüşümün katı olması lazım.
-
-
Bunu yazayım.
a vektörünün skaler katının L üzerine izdüşümü nedir?
-
c a iç çarpım u, çarpı u birim vektörü.
-
Bu, biraz daha kolay.
Bu, skaler kat.
İç çarpım özelliklerinde, bunun c çarpı a iç çarpım u, çarpı u'ya eşit olduğunu görmüştük.
-
Yani bu eşittir, c çarpı, a'nın L üzerine izdüşümü.
-
Lineer transformasyonun iki koşulunu da sağlamış olduk.
R n'de L doğrusu üzerine izdüşümün lineer transformasyon olduğunu göstermiş olduk.
-
Buna göre, bunu matris transformasyonu olarak ifade edebiliriz.
-
x'in L üzerine izdüşümünü yeniden yazabiliriz.
-
-
x iç çarpım doğruyu tanımlayan bir birim vektör.
Birim vektör olduğunu belirtmek için üzerine bir küçük şapka çizeyim.
-
Çarpı birim vektörün kendisi, sonuçta vektör elde etmemiz için.
-
Bunu bir matris vektör çarpımı olarak nasıl yazabilirim?
-
Bir matris çarpı x olarak yazmak istiyorum.
-
Matris işlemlerini kolaylaştırmak için, R 2'de çalışalım.
-
L üzerine izdüşümün R 2'den R 2'ye bir eşleme olduğunu varsayıyorum.
-
Bunu herhangi bir boyuta da uygulayabilirsiniz.
-
Eğer R 2'de bir eşleme düşünüyorsak, A matrisi 2'ye 2 matrisi olacak.
-
Birçok videoda A matrisini bulmak için, sütunları standart doğuray vektörleri olan birim matrisi kullanmıştık.
-
-
0, 1.
Veya 1, 0 ve sonra 0, 1.
Sonra da transformasyonu bu sütunların her birine uygulamıştık.
-
A'nın ilk sütunu bu sütunun L üzerine izdüşümü olacak.
-
-
-
Bunu nasıl buluruz?
Bu, çarpı u. u'yu yazayım.
-
u eşittir u 1, u 2 diyelim.
-
-
Bunun birim vektörle iç çarpımını almamız lazım.
-
-
-
-
-
İzdüşümün bu iç çarpım şu, çarpı bu vektör olduğunu biliyoruz.
-
Bunu yazalım.
1, 0 iç çarpım birim vektör u, yani u 1, u 2.
-
Çarpı birim vektörümüz.
-
Çarpı u 1, u 2 vektörü.
Transformasyon matrisinin birinci sütunu böyle olacak.
-
İkinci sütun için de aynı şeyi yapacağım.
-
İzdüşüm tanımına göre, bunun birim vektörümüzle iç çarpımını alıyoruz.
-
-
-
0, 1 iç çarpım u 1, u 2 birim vektörü.
Bunun u 1, u 2 birim vektörüyle çarpımını alacağım.
-
Bu, çok karmaşık görünüyor, ama transformasyon matrisini bulduğumuzda sadeleşecektir.
-
Hadi bunu bulalım.
Bu ikisinin iç çarpımı nedir?
Şuraya yazayım.
1 çarpı u 1 artı 0 çarpı u 2.
Yani sadece u 1.
Bu, u 1 olarak sadeleşir.
-
Çarpı u 1, u 2.
İlk sütunumuz böyle.
İkinci sütun ise, bu ikisinin iç çarpımını alırsam, 0 çarpı u 1 artı 1 çarpı u 2.
-
Yani, u 2 çarpı u 1, u 2.
Bunu çarparsam, neye eşit olur?
Sütun olarak yazayım. u 1 çarpı u 1 eşittir u 1 kare.
-
u 1 çarpı u 2 eşittir u 1, u 2.
u 2 çarpı u 1 eşittir u 2 çarpı u 1.
u 2 çarpı u 2 eşittir u 2 kare.
Bana herhangi bir birim vektör verirseniz, size başka bir vektörün bu birim vektörün tanımladığı doğruya izdüşümünü bu matrisle hesaplarım.
-
-
Çok uzun bir ifade oldu.
Daha önce yaptığıma geri döneyim.
Doğru veya vektör üzerine izdüşüm alıyorum.
-
Bir önceki videodaki örneğin aynısını yapalım.
Şöyle bir v vektörüm var.
v vektörü eşittir 2, 1.
v vektörü böyle.
v'nin tanımladığı doğru üzerine izdüşümü nasıl buluruz?
-
Bu doğru üzerine.
v'nin tanımladığı doğru üzerine.
İlk olarak, v'yi birim vektöre çevirelim.
Aynı yönde bir birim vektöre çevirebiliriz.
-
u birim vektörü diyelim.
Bunu şurada yapmıştık. v'yi uzunluğuna bölmüştük.
-
-
v'yi uzunluğuna bölelim.
Birim vektör, 1 bölü kök 5 çarpı v vektörü.
-
1 bölü kök 5 çarpı v vektörü.
-
Burada bir birim vektörle başlıyorsunuz.
Transformasyon matrisini oluşturuyorsunuz.
-
Bu u ise, matrisimiz neye eşit?
Bu, u.
Matriste u 1 kare var.
u 1 kare neye eşit?
u'yu tekrardan yazalım.
Bu doğruyu tanımlayan u birim vektörü eşittir 2 bölü kök 5, 1 bölü kök 5.
-
-
Bu skalerle çarptım.
Bu matrisi oluşturmak için, u 1 kareyi alıyorum.
-
Bunun karesi nedir?
2 kare, 4, bölü kök 5 kare, yani 5.
-
4 bölü 5.
u 1 çarpı u 2 nedir?
2 çarpı 1 bölü kök 5 çarpı kök 5.
Yani 2 bölü 5.
Şu ikisini çarptım.
u 2 çarpı u 1 nedir?
Aynı şey.
Çarpmada sıra fark etmez.
Bu da 2 bölü 5.
u 2 kare nedir?
1 kare bölü kök 5 kare eşittir 1 bölü 5.
-
-
Şurada başlangıç noktası, burada da bir x vektörü olsun.
-
Şimdi transformasyonumuzu tanımlayabiliriz.
u birim vektörünün katlarının oluşturduğu L doğrusu üzerine izdüşüm.
-
İşte burada.
-
Bu, L doğrusu.
Herhangi bir x vektörünün L üzerine izdüşümü bu matrise eşit.
-
4 bölü 5, 2 bölü 5, 2 bölü 5, 1 bölü 5 çarpı x'e eşit.
Bence bu çok güzel bir sonuç.
Yine her şeyi matris çarpımına indirgeyebildik.
-
x'i bu matrisle çarpınca, L doğrusu üzerine izdüşümünü elde edersiniz
-
-
Şu a vektörünü bu matrisle çarpınca, doğru üzerine izdüşümünü elde edersiniz.
-
-
-
-
-
-
Bu vektörü matrisle çarpınca, doğrunun üzerindeki şu vektörü elde edeceksiniz.
-
-
Bunu çıkarınca, dik bir vektör elde edersiniz.
Tanımı biliyoruz.
İzdüşüm, vektörün gölgesi gibidir.
Neyse, bence bu çok güzel.