Tip:
Highlight text to annotate it
X
Dördüncü boyut
Benim adım Ludwig Schläfli,
İsviçreli bir geometri uzmanıyım.
Ondokuzuncu yüzyılda yaşadım ve
size dördüncü boyutun kapısını ben açacağım!
Kelimelerden korkmayalım, ben bir vizyonerim.
Büyük boyutlu uzayların var olduğunu
ve bunların geometrilerini inceleyebileceğimizin
bilincinde olan
ilk uzmanlardan sayılırım.
Düzlemde yaşayan yassı varlıklar
üç boyutlu çokyüzlü cisimlerin varlıklarını anlayabilirler.
Dört boyutlu çokyüzlü cisimleri niye anlamayalım ki?
Bilim dalına katkılarımın en onemlilerinden biri
dördüncü boyuttaki düzgün çokyüzlü cisimleri irdelemek olmuştur.
Dördüncü boyut nedir?
Bu konuda birçok şey yazıldı,
bilim-kurgu yazarları doyasıya bu konuyu kullandılar!
Size bu konuları tahtada anlatacağım.
Bu tahtanın biraz sihirli olduğunu fark edeceksiniz.
Önemli olan alıştığımız yeryüzünden
kendimizi soyutlayabilmemiz
ve gözlerimiz ve duyularımizın direk olanak vermediği
bir dünya düşünmemiz.
Sürüngenler gibi bizim de kurnaz olmamız lazım.
Maalesef göremeyeceğiniz
çıkıntının üstünde bulunacağım
ve size gördüğümü anlatmaya çalışacağım.
Ama öncelikle, tahtaya bir doğru çizeceğim.
Bir orijin noktası belirtiyorum.
Doğrudaki her nokta
orijin noktasına uzaklığıyla bulunabilir; 32 00:02:09,700 --> 00:02:12,580 bu nokta eğer orjinin solundaysa bu uzaklığı belirten
Sayının önüne eksi işareti, sağındaysa artı işareti eklenir.
Bu sayıyı x harfi ile not eder
ve bu sayıya absis ismini veririz.
Doğrudaki bir noktanın konumunu tek bir sayı ile
anlatabildiğimiz için
doğrunun bir boyutlu olduğunu kabul ederiz.
Şimdi ise ikinci bir eksen çiziyorum,
birincisine dik olan bir eksen.
Tahtanın düzlemindeki her nokta
artık iki sayıyla tam olarak tanımlanabilir;
bu sayıları geleneksel olarak x ve y ile not eder, absis ve ordinat olarak adlandırız.
Düzlem iki boyutludur.
Eğer bir doğrunun üzerinde oturan bir varlığa
bilmediği bir düzlemdeki noktanın ne olduğunu anlatmak gerekseydi,
ona sadece
“düzlemdeki bir nokta sadece iki sayıdan oluşan veridir” diyebilirsiniz.
Üçüncü boyuta geçelim.
Tebeşir uzayda yazıyor ve
diğer iki eksene dik olan üçüncü bir eksen çiziyor.
Uzaydaki bir nokta üç sayı ile belirtilir:
x, y ve z.
Dünyamızın neye benzediğini
merak eden sürüngenlere
“uzaydaki bir nokta sadece üç sayıdır” diyebilirdik.
Şimdi de dördüncü boyuta geçelim.
diğer eksenlere dik olan dördüncü bir
eksen çizmeyi deneyebiliriz, ama imkansız!
O zaman, başka bir yöntem uygulamamız gerekecek.
Tabii, basit bir şekilde,
dört boyutlu uzayda bulunan bir noktanın
x, y, z, ve t olan dört sayidan oluşan veri olduğunu söyleyebiliriz.
Bu bizi pek aydınlatmıyor!
Ama, yine de bu geometriden
sezinlenmeye çalışacağız.
Anlamak için birinci
yöntem benzerden yola çıkmak olabilir.
Işte bir doğru parçası...
... ve eşkenar bir üçgen ...
ve son olarak düzgün bir tetraedra.
Sihirli tahtamız uzayda cızmemizi sağlıyor.
Bu seriyi dördüncü boyutta nasıl devam ettirebiliriz?
doğru parçası, üçgen ve tetraedranin herbiri
2, 3 ve 4 köşesi olduğunu inceleyebiliriz.
Öyleyse 5 köşeyle devam edebiliriz!
Deneyelim.
Doğru parçası, üçgen veya tetraedrada
bir kenar bütün köşeleri ikişer ikişer bağlıyor.
Her 5 köşeyi de aralarında bağlamamız gerekiyor.
Sayalım,
bir kenar,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ve 10 kenar.
Tetraedrada,
her üç köşe için bir üçgen yüzü bulunuyor.
Aynı şekilde devam edelim,
ve bir üçgen yüzü elde ediyoruz,
2, 3, ... , 10 yüz.
Ama benzer şekilde devam edersek,
her dört köşe için
Tetraedranın bir yüzünü de eklememiz gerekecek
Bunlardan 5 tane sayıyoruz
Işte, dört boyutlu cisimimiz çizildi.
Buna “sempleks” adını verelim!
ve uzayda tetraedrayı döndürdüğümüz gibi
bu cisimi de döndürelim.
Tabii, sempleksin dört boyutlu uzayda
döndüğünü hayal etmek gerekiyor
ve şu an gördüğünüz sadece tahtadaki izdüşümü.
Bazi şeyleri zorlaştıran durum,
yüzlerin birbirine karıstığı ve kesiştiğidir.
Evet, dördüncü boyutta görmek için biraz deneyime ihtiyaç var.
Dördüncü boyutta bulunan,
sempleksi alıp,
3 boyutlu uzayımızı yavaş yavaş kesmesi için
yerini değistirebiliriz.
Tıpkı sürüngenlerin
çokyüzlü cisimin belirip yok olduğunu gördükleri gibi,
üç boyutlu çokyüzlü bir cisimin
belirip, şekil değistirip ve yok olduğunu görüyoruz.
Işte! Sempleks üç boyutlu uzayımızdan geçti.
Şimdi de,
diğer 4 boyutlu çokyüzlü cisimlerle tanışacağız.
Bunlar da üç boyutlu uzayımızdan geçiyorlar.
Işte doğru parçası, kare ve küple başlayan
familyayı genelleştiren hiperküp.
Kullandığımız kesit yöntemiyle sezmenin zor
olduğunu itiraf etmek gerekir...
İzokaedra ve dodekaedradaki benzerlikleri keşfettim.
Zor isimleri oldukları için
şimdiki cisimlere “120” ve “600” ismi vereceğim
çunku birincisinin 120 ikincisinin ise 600 yüzü bulunuyor.
120’yi her zamanki gibi uzaydan geçerken inceleyin.
ve işte 600.
Tabii, dört boyutlu çokyüzlü bir cisimin 600 yüzü olduğunu söylediğimde,
üç boyutlu yüzlerinden bahsediyorum.
Evet 600 yüzünün herbiri bir tetraedradır.
120 ise, 120 dodekaedradan oluşuyor!
Onları daha iyi tanımayı daha sonra öğreneceğiz.
Bu dört boyutlu cisimleri
üç boyutlu gözlerimizle incelememiz için
gölgelerinden yararlanabiliriz.
Cisimler dört boyutlu uzayda olup,
onların izdüşümlerini üç boyutlu uzayımızda elde edebiliriz,
tıpkı bir sanatçının bir manzarayı tualinde izdüşümünü elde ettiği gibi.
Bunu sempleks için de uygulamıştık.
Işte hiperküp.
Tabii, detaylarından faydalanmamız
için uzayda dönüyor.
Mesela gördüğünüz gibi hiperkübün 16 köşesi var.
Küçük bir yenilik bulunuyor.
En güzel keşifim.
24 olarak adlandıracağım
üçüncü boyutta hiçbir eşdeğeri olmayan bir cisim.
Saf dört boyutlu bir yaratık
keşifimden gurur duyuyorum.
Hayran kalacaksınız! 24 köşe, 96 kenar, 96 üçgen ve 24 oktaedra.
Harikulade bir eser!
Işte 120’nin gölgesi!
kompleks bir eser olduğunu itiraf etmek lazım!
Içerisine doğru yol alalım ve yapısını inceleyelim.
Hayran kalın: 600 köşe, 1200 kenar.
Her köşeden 4 kenar çıkıyor.
Tamamiyle düzgün bir yapı.
Tüm köşeler, kenarlar aynı rolü oynuyorlar.
Her ne kadar izdüşüm cisimin düzgünlüğünü bir şekilde bozsa da.
Hayal gücünüzü biraz daha zorlayın.
Cisimi büyük bir rotasyon grubunun
bütün bu köşe ve kenarlarının birbirleriyle yerlerini
değistirdiği dört boyutlu bir uzayda olduğunu hayal edin.
Işte şampiyon, 600.
Devasal bir makromolekül gibi.
720 kenarı ve 120 köşesiyle.
Her köşeden 12 kenar çıkıyor.
Ama dört boyutlu çokyüzlü cisimlerle
maceramız burada bitmiyor
çünkü stereografik izdüşumler sayesinde
daha iyi sezgiler elde edildiği iddia edinilebilir.