Tip:
Highlight text to annotate it
X
Geçen vidyomuzda umarım matrisleri toplamayı öğrenmişsinizdir.
Çünkü şimdi de matrisleri çarpmayı öğreneceğiz.
Matris çarpımını anlatmak için doğal olmayan bir yöntem göstereceğim size.
Tamamen farklı bir çarpma yöntemi de seçebilirdik ancak
bu şekilde öğrenmenizi öneririm çünkü matematik dersinde daha yararlı olacak bu yöntem.
Ayrıca bu yöntemle çarpmadan birçok farklı sonuçlara
ulaşabildiğimizi göreceksiniz. Her neyse, şimdi 2 ye 2 lik matrisleri
ele alalım ve bunları çarpalım.
Şimdi gelişigüzel bir biçimde sayılar yerleştirelim içlerine.
2, -3, 7 ve 5.
Bu matrisi de
şimdi çizdiğim diğer matrisle çarpalım.
Bu matrisin içine de
10, -8,
-şuraya uygun bir sayı seçeyim- 12,
-2 yi koyalım.
Bu noktada toplama gibi
yine aynı yerde olanları
birbirleriyle çarpmak gibi bir
şey yapmak isteyebilirsiniz ancak,
şuradaki ilk sayı 2 kere 10,
buradaki sayı da -3 kere -8
diyerek devam etmek
toplamadaki mantığa benzemesine rağmen
doğru değildir.
Aslında matrislerde çarpma yapmak çok daha karışık.
Ancak birkaç örneğe bakarsanız
mantığını anlayacağınıza eminim. Peki çarpmanın yöntemi ne?
buradaki ilk sayı, ilk satır ve ilk sütundaki sayı,
baştaki matrisin ilk satırının vektörü ile
ikinci matrisin
sütun vektörünün çarpımıdır.
Peki bu ne anlama geliyor?
Bu, bu sayı satır bilgilerini ilk matrisin satırından,
sütun bilgilerini de ikinci matrisin sütunundan alıyor demektir.
Bunu nasıl yaparım peki? Eğer nokta çarpımı biliyorsanız, bu iki matrisin nokta çarpımına
eşit olduğunu fark edeceksiniz. Sonuç olarak bu sayının değeri
2 kere 10
artı -3 kere 12 dir.
Bunu yazayım.
Sanırım boşluk yetmeyecek tüm matrisi yazmam için.
Neyse, peki ikinci terim nedir?
Hala ilk satırındayız bu çarpım vektöründe, ancak artık ikinci sütuna geçtiğimiz için
ikinci matristeki ikinci sütun bilgilerini kullanmalıyız.
Farklı bir renk kullanarak göstereyim bunu.
Şimdi bu sayının değeri
2 kere -8 artı,
-sadece sonucunu yazayım bu işlemin,
ki bu da -16 eder-
-3 kere -2
bu da 6 eder
ve bu da
ilk satır ikinci sütun değerinin -16 artı 6 olduğnu gösterir.
Şimdi de ikinci satır birinci sütundaki tarimi bulalım.
Ve bunun kafa karıştırıcı olduğunun farkındayım ama,
birçok örnek çözdükten sonra iyice aklınıza yatacak bu mantık.
Neyse, bu sayı ikinci satırda ve ilk sütunda olduğuna göre
şu satır kere şu sütuna eşit olacak.
Bu da 7 kere 10 -yani 70- artı
5 kere 12
-bu da 60 olur-
eder. Peki son sayımız kaçtır?
7 kere -8,
yani -56 artı
5 kere -2
evet -10 olur.
Elimizdeki matrisin son halinde
ilk terim 20 artı -36 dan -16
ikinci terim
-16 artı 6 dan -10
90, hayır 70
70 artı 60 eden üçüncü terim 130 ve -56 artı -10
yani -66 eden bir son terim
bulunmakta.
En sonunda bu iki matrisi çarpmış olduk.
Şimdi bir ikinci örnek yapalım ilkinin hemen altına.
Şimdi yeni
matrisler düşünelim.
İlk matrisimizin elemanları sırasıyla 1, 2, 3 ve
4 olsun. Bunu da
5, 6, 7 ve
8 sayılarından oluşan matrisle çarpalım.
Bu sefer daha çok boşluk bıraktığım için daha düzenli bir şekilde duracak bu matris.
Geçen örnekte yaptığımın tam olarak aynısını yapacağım.
Öncelikle şu sol üstteki terimi bulmak için
birinci sütun ve birinci satırdakini yani,
ilk matristen birinci satırın
bilgilerini, ikinci matristen de
birinci sütunun bilgilerini alacağız.
Yani bu iki vektörü çarpacağız ve bunun cevabı da
1 kere 5 ile 2 kere 7 nin
toplamı olacak.
Şimdi ikinciyi bulalım.
Bu değer de yine ilk satır ile
ikinci sütunun çarpımı,
yani 1 kere 6 artı
2 kere 8
işleminin sonucu oluyor.
Şimdi ikinci satıra geçelim.
İlk vektörden satır bilgilerini aldık.
Ve sütun bilgilerini de iknciden.
Üçüncü terimimiz de
3 kere 5 artı
4 kere 7 ediyor. Son olarak da şu terime geldik.
İkinci satır ve ikinci sütun yani.
Bu da 3 kere 6
artı 4 kere 8 demektir.
Bunu yazayım.
Şimdi bunu kısaltalım.
Veya durun öncelikle bu sayıların nereden geldiklerini tekrar anlatayım.
Şuradaki bir ilk matrisin ilk satırından geliyor
Buradaki 2 de keza.
Bir yandaki işlemde de ilk satır olduğu için varlar.
Buradaki 5 ve 7 de
ilk sütunda oldukları için ilk sütundaki işlemlerde varlar.
Bu garip.
İkinci matristeki ilk sütundakiler sonuçta da
ilk sütundalar. Benzer bir şekilde
6 ve 8 de
bu matrisin ikinci sütunundalar.
Kahverengi olan 3 ve 4 ise ikinci satırdaki iki sayının bulunmasında kullanılıyorlar.
Artık bu sayıların değerlerini bulabiliriz.
1 kere 5 artı 2 kere 7, yani 5 artı 14
19 eder, ve ilk terim bu değere sahiptşr.
İkinci terim 1 kere 6 artı 2 kere 8 e eşittir.
Bu da 22 olur.
Şu terim de 3 kere 5 artı 4 kere 7
yani 15 artı 28 eder.
bu da 43 e eşittir. Son olarak da 3 kere 6
artı 4 kere 8 işleminin sonucunu bulursak,
matrisimiz tamamlanır, ki bu değer de
50 ye eşittir.
Şimdi bu matrisi bir de güzelce yazalım.
19, 22, 43 ve 50.
Şimdi size bir soru sorayım.
Toplamada olduğu gibi
A + B ile
B + A birbirine eşit
midir çarpma
işleminde de matrisler
söz konusunda olduğunda?
Yani AB BA ya
eşit midir?
Başka bir deyişle, matrislerde çarpmada sıra önemli midir?
Şimdiden size cevabı söyleyeyim;
kesinlikle sıra büyük bir fark yaratır ve hatta
bazı matrisler sadece bir sırayla çarpılabilir.
Bunu sonra göstereceğim size,
ancak bunun birçok
matris için aynı olmadığını göstermek için
hemen tersten çözeyim bu matrisi bir de.
Yer açmak için üst kısmı sileyim.
Hepsini silmeliyim.
Hatta şunu da silebilirim.
bu iki matrisi bu sırayla çarpınca bu sonucu
elde etmiştim, şimdi tam tersi
bir sıralamayla çarpayım bu iki matrisi.
Şimdi şu matrisi
-içinde 5, 6, 7 ve 8 olanı-
içinde 1,
2, 3 ve 4 olan matrisle çarpacağım, yani sadece
yerleri değişti.
Şimdi çözelim.
Bu sefer renklerle uğraşmayacağım hızlı olmak adına.
Buradaki ilk terim
ilk matristen satırı, ikincisinden sütunu alıyor.
Bu da 5 kere 1 artı 6 kere 3 ye denk geliyor bu terim için.
Bir adımı
atlayıp yazayım en iyisi.
Sonuçta
5 artı 18 i yazayım.
Peki ikinci terim kaç oldu?
5 kere 2 artı
6 kere 4 ediyor.
Yani 10 artı
24
Bu satır kere bu sütun demiştik zaten.
Şimdi bir alt satıra geçtik.
Şu terim bu yüzden
şu satırı ve şu sütunu kullanacak.
Bu sayı da 7 kere 1 artı 8 kere 3 e,
kısaca 7 artı 24 ye eşit.
Bu terimi bulmak için de alttaki satır ile sağdaki sütunu alıyoruz.
7 kere 2 artı
8 kere 4
yani 14 artı
32 etti.
Sonuç olarak bu matrisimizin içinde
23, 34,
31 ve 46 sayıları oldu.
Şimdi bu matrise
A ve
şu matrise de B dersek
ilk örneğimizde A.B nin
19, 22,
43, 50 ye eşit olduğunu, ancak
B.A nın
tamamen farklı bir matrise eşit olduğunu
görürüz. Bu da matris çarpımında
sıralamanın önemli olduğunu gösterir. Bu vidyoyu bitiriken, sonraki vidyomda
hangi matrislerin
birbirleriyle çarpılabileceğini göstereceğimi söylemek istiyorum.
Matrisleri çıkarır veya toplarken aynı
sayıda sütun ve satırları olmalı dedik, çünkü sadece birbirlerine karşılık gelen
sayıları çıkarmış veya toplamıştık ancak çarpmada bu durum biraz daha farklı.
Görüşürüz!