Tip:
Highlight text to annotate it
X
Yine burada üç bilinmeyenli üç denklem var, yani üç düzlemin nerede kesiştiğini bulmaya çalışacağız.
Bunu yok etme yöntemiyle çözmek istiyorsak, burada eksi z
şurada artı 2 z ve
burada da 5 z var.
Bu üçüncü denklemi 2 ile çarparsak
burada eksi 2 z olur ve şuradaki 2 z ile sadeleşir.
5 ile çarparsak da, burada eksi 5 z olur
ve şu 5 z ile sadeleşir.
Bunları sadeleştirmeye çalışalım. Önce z'leri sadeleştirelim. Bakalım şu denklemle başlayalım.
Baştan yazıyorum ve bir ok çıkarıyorum.
Denklemimiz x artı 2 y
artı 5 z
eşittir eksi 17.
Bu denklemi 5 ile çarpıyorum. İki tarafı da 5 ile çarpıyorum.
3 x çarpı 5 eşittir 15 x
y çarpı 5 eşittir artı 5y ve z çarpı 5
eşittir 5 z.
5 ile çarpmamızın sebebi bu.
Bu iki denklemi topladığımızda, x artı 15 x eşittir 16 x
2 y artı 5 y eşittir
7 y
ve 5 z eksi 5 z veya
artı eksi 5 z, bunlar giderler, değil mi? Ve bu eşittir
eksi 17 artı 15
eşittir eksi 2.
Bu ve şu denklemdeki koşulları kullanarak yalnızca x ve y cinsinden bir denklem elde ettik.
Şimdi aynı şeyi yapalım, bu denklem ve şu denklemde z'leri yok edeceğiz.
Bu denklemi tekrardan yazıyorum.
2 x eksi 3 y
artı 2 z
eşittir eksi 16.
Bu 2 z'yi götürmek için şu denklemi 2 ile çarpalım.
Bunu 2 ile çarpalım. Eksi 2 z bu 2 z'yi götürecek.
2 çarpı 3 x, 6 x
2 çarpı y eşittir 2 y
ve 2 çarpı eksi z eşittir eksi 2 z
eşittir 2 çarpı 3
6.
Şimdi bu iki denklemi toplayalım. Artık bu iki denklemi toplayabiliriz.
2 x artı 6 x eşittir 8 x
eksi 3 y artı 2 y eşittir eksi y
ve bu iki arkadaş sadeleşir.
Sonra bu eşittir eksi 16 artı 6
eksi 10 eder.
Şimdi iki bilinmeyenli iki denklem var, z'leri götürdük.
Ve şimdi yine yok etme yöntemini kullanmak istersek, burada eksi y var
burada da artı 7 y var.
Bunu 7 ile çarpar ve denklemleri toplarsak, y'leri götürebiliriz.
Ve böyle yapalım. Bunu 7 ile çarpalım.
7 kere 8, 56, yani 56 x
eksi 7 y
eşittir 7 çarpı eksi 1.
Şimdi bu iki denklemi toplayabiliriz.
Şimdi y'leri yok etmeye çalışıyorum.
16 x artı 56 x
eşittir 72 x.
Bu arkadaşlar gider, eşittir eksi 72 dedik.
Eksi 2 artı eksi 70. Güzel.
İki tarafı 72'ye böleriz ve x eşittir eksi 1 buluruz.
Şimdi yerine koyarak y ve z'yi bulalım.
Buradaki denkleme dönelim.
8 x eksi y eşittir eksi 10'muş.
Şimdi x eksi 1 olduğuna göre, 8 çarpı eksi 1 veya kısaca eksi 8 eksi y eşittir eksi 10.
İki tarafa 8 ekleyebiliriz ve
eksi y eşittir eksi 2 elde ederiz.
Veya iki tarafı eksi 1 ile çarparak y eşittir 2 deriz.
Şimdi bulmamız gereken sadece z kaldı, bu denklemlerin herhangi birini alabiliriz.
Son denklemi kullanayım, çünkü katsayıları daha küçük.
Şimdi son denkleme değerleri koyarsak
3 çarpı x, yani 3 çarpı eksi 1
artı y, yani 2
eksi z eşittir 3.
Yani eksi 3 artı 2 eksi z eşittir 3.
Bu eşittir eksi 1 eksi z eşittir 3, iki tarafa 1 ekleyelim.
Bunlar sadeleşir ve eksi z eşittir 4 buluruz.
İki tarafı eksi 1 ile çarparsak, z eşittir eksi 4 olur.
Ve cevabı bulduk. Şimdi bu çözümün, x eşittir eksi 1
y eşittir 2, z eşittir
eksi 4 çözümünün üç denklemi de sağladığını bir teyit edelim.
İlk denklemde yerine koyalım.
x artı 2 y artı 5 z.
x eşittir eksi 1
artı 2 çarpı y, yani artı 4
artı 5 z
yani artı 20
eşittir eksi 17 diyor.
Bu negatif, burası artı 3
eksi 20
evet gerçekten eksi 17'ye eşit.
Bu demektir ki, ilk denklemi sağlıyor.
İkinci denklem. 2 çarpı x
2 çarpı eksi 1
eşittir eksi 2
eksi 3 çarpı y, yani eksi 6
artı 2 çarpı z
z eksi 4'dü, yani 2 çarpı
eksi 4 eşittir eksi 8.
Ve bu, eksi 16'ya eşit olmalı.
Eksi 2 eksi 6 eşittir eksi 8.
Bir 8 daha çıkarınca, eksi 16 olur. Yani ikinci denklemi de sağladık.
Şimdi de son denkleme bakalım.
3 çarpı x
yani eksi 3 artı y, yani artı 2
eksi z
yani eksi eksi 4, bu da artı 4 demek.
Bu da 3'e eşit olmalı.
Eksi 3 artı 2 eşittir eksi 1, artı 4.
Gerçekten de 3'e eşit.
Üç düzlemin kesiştiği noktayı bulduk.
x eşittir eksi 1, z eşittir eksi 4
y eşittir 2 ve bu nokta tüm denklemleri sağlıyor.