Tip:
Highlight text to annotate it
X
-
Diyelim ki şöyle bir vektörler kümem var--
bu çizgiyi bu kadar kalın yapmak istemiyorum.
Diyelim ki vektörlerden bir tanesi 2ye 3 vektörü
ve diğeriyse 4e 6 vektörü.
Şu soruyu cevaplamak istiyorum: bu vektörlerin açıklığı nedir?
-
Ve bunların konum vektörleri olduğunu varsayalım.
Bu vektörlerle
hangi vektörler gösterilebilir?
Bakarsanız -ve hatırlayın, vektörlerin açıklığı
bu vektörlerin doğrusal kombinasyonlarından oluşan vektörlerin tümüdür-
-
Yani tüm vektörleri içeren kümedir.
Bir sabit, c1, ile 2ye 3 vektörünü çarpar,
başka bir sabit, c2, ile 4e 6 vektörünün çarpımını eklersem,
bu bana c1 ve c2 yerine farklı gerçek sayılar koyarak, gösterebileceğim tüm olanakları verir.
-
İlk fark edeceğiniz şey, bakın,
bu 4e 6 vektörü, bu 2ye 3 vektörünün ik katı.
-
Demek ki bunu şu şekilde yazabilirim:
c1 çarpı 2ye 3 vektörü,
artı c2 çarpı bu vektör,
burada 4e 6 vektörü yerine, 2 kere 2ye 3 vektörü yazacağım,
çünkü bu vektör 2ye 3 vektörünün bir katı.
O zaman c2 çarpı 2, çarpı 2ye 3 vektörü diye yazabilirim.
Sanırım bunun 4e 6ya eşdeğer olduğunu görebiliyorsunuz.
2 kere 2 eşittir 4.
2 kere 3 eşittir 6.
O zaman sadeleştirme yapabiliriz.
Bunu şu şekilde yazabiliriz: c1 artı 2 kere c2,
çarpı 2ye 3 vektörü.
Buraya herhangi bir sabit konulabilir.
2 kere herhangi bir sabit, artı başka bir sabit.
-
Yani bunu c3, çarpı 2ye 3 vektörü diye de yazabiliriz.
Bu durumda, iki vektörle başlamış olmamıza rağmen,
dediğim gibi, biliyorsunuz,
bu iki vektörün açıklığı, bu vektörlerin doğrusal kombinasyonuyla,
herhangi bir doğrusal kombinasyonuyla,
oluşturulabilecek vektörlerin tümü.
Bu yer değiştirmeyi kullanarak,
ifademi ilk vektörümün bir skaler çarpanına dönüştürebilirim.
Tabii diğer yolu da izleyebilirdim.
2ye 3 vektörünü, 4e 6 vektörünün yarısı olarak yazabilir,
ikinci vektörün herhangi bir skaler kombinasyonuna ulaşabilirdim.
-
Ama gerçek şu ki,
iki vektörün doğrusal kombinasyonları hakkında konuşmaktansa,
bunu bir vektörün skaler kombinasyonu olarak kısaltabilirim.
Ve R2'de gördük ki, bir vektörün skaler kombinasyonu,
özellikle konum vektörü iseler,
örneğin 2ye 3 vektörü,
-
2ye 3 vektörü böyle gözüküyor.
Vektörün tüm skaler kombinasyonları bu çizginin üstünde olacak.
-
2ye 3 vektörü burada olacak.
Hepsi bu çizgi üzerinde olacak.
İki yöne de sonsuza dek uzayan bu çizginin üzerinde.
Ve eğer 2ye 3'ün negatif değerlerini alırsam,
çizgimde bu tarafa gideceğim.
Pozitif değerlerini alırsam da, bu tarafa gideceğim.
Gerçekten büyük pozitif değerler alırsam,
buraya kadar çıkacağım.
Ama sadece vektörleri gösterebilirim.
Standart formda yazdığınızda, okları bu çizgiyi izleyecek.
-
Yani şöyle denebilir, vektörler kümemin açıklığı--
şunu şuraya alayım.
-
2ye 3 ve 4e 6 vektörler kümesinin açıklığ,
bu çizgiyi oluşturuyor.
İki vektör bulunmasına rağmen,
aslında bu vektörler doğrudaş.
Bu iki vektör birbirinin çarpanı.
Demek istiyorum ki, bu 2ye 3 ise, 4e 6 da hemen burada olmalıdır.
Sadece 4e 6 vektörü daha uzun.
-
Bu iki vektör aynı doğrultuda.
-
Bu durumda, R2'de iki aynı doğrultuda vektörümüz olduğunda,
esasen açıklıkları bu çizgiye düşüyor.
Bir vektör--
yeni bir renk alayım.
Burdaki bu vektör,
o iki vektörün kombinasyonu olarak gösterilemez.
Bu çizgiden dışarı çıkmanın bir yolu yoktur.
Bu yüzden R2'de her şey gösterilemez.
Yani açıklık sadece şu çizgidir.
Buna bağlantılı olarak, dikkat edin,
iki vektör vardı,
ancak doğrusal kombinasyonunu alınca bir vektöre düştü.
Konuya bağlantılı olan,
bu kümeye doğrusal bağımlı denmesidir.
Bir kenara yazalım: doğrusal bağımlı.
Bu, doğrusal bağımlı bir kümedir.
Ve doğrusal bağımlı demek,
kümedeki vektörlerden biri,
kümedeki diğer vektörlerin kombinasyonuyla gösterilebilir.
Şu şekilde de söylenebilir: hangi vektörü seçerseniz seçin,
bu vektör kümedeki diğer vektörlerle gösterilebilir.
Bu şekilde yeni bir yön, yeni bir bilgi eklenmiyor değil mi?
Bu durumda, zaten bu yöne giden bir vektörümüz vardı,
ve 4e 6 vektörü de aynı yönde gidiyor,
sadece daha büyük bir ölçekte.
Dolayısıyla yeni bir boyut, bu çizgiden bir kaçış yolu eklemiyor,
değil mi?
Gözünüzün önüne getirebilirsiniz ki, üç boyutlu uzayda,
buna benzeyen bir vektör ve şuna benzeyen bir başka vektör olunca,
iki doğrudaş olmayan vektör,
bir çeşit iki boyutlu uzay yaratacaktır.
Bu iki vektör bir iki boyutlu uzay yaratabilir.
Diyelim ki bu,
o iki vektör tarafından belirlenmiş düzlem.
R3'ün tanımlanması için, kümedeki üçüncü bir vektör,
diğer iki vektörle aynı düzlemde olamaz, değil mi?
Eğer öyle olursa,
yeni bir yön eklemez.
Demek ki,
bu üç vektörü barındıran küme de doğrusal bağımlı olur.
Aslında, bu iki lila vektörün,
tanımladıkları düzlemi kapsadığını düşünebiliriz,
değil mi?
Bu düzlemde herhangi bir yöne giden herhangi bir şey gösterilebilir--
'bu iki vektör tanımladıkları düzlemi kapsıyor' demek
herhangi bir vektör,
şu ve şu vektörün doğrusal kombinasyonuyla gösterilebilir demektir, yani,
bu vektör bu düzlemdeyse,
şu ve şu vektörlerin doğrusal kombinasyonu olarak gösterilebilir.
Yani eklediğim bu yeşil vektör, vektörlerin kapsamına (açıklığına) hiçbir şey katmayacak,
çünkü bu vektörler kümesi doğrusal bağımlı bir küme.
-
Yeşil vektör, bu iki vektörün toplamı olarak gösterilebilir,
çünkü yeşil vektör, bu iki vektörün kapsadığı düzlemde, açıklığındadır.
Bu üç vektörün açıklığına bir boyut daha eklenmesi veya R3'ün temsil edilebilmesi için,
üçüncü vektörün şu düzlemden çıkması gerekir.
-
Vektörün düzlemden çıkması şarttır.
Ve eğer bir vektör düzlemden çıkıyorsa,
bu vektör o düzlemde gösterilemez,
bu yüzden bu iki vektörün açıklığına dahil değildir.
Açıklığın dışında olduğu için,
bu iki vektörün doğrusal kombinasyonuyla gösterilemez
Yani maviyle çizdiğim bu üç vektör,
ama sadece bu üçü,
bu vektörler doğrusal bağımsız olur.
Birkaç örnek daha göstereyim.
O çizim biraz fazla soyut olmuş olabilir.
Mesela, elimde 2ye 3, 7ye 2 ve 9a 5 vektörleri varsa,
bu vektörler,
doğrusal bağımlı mıdır bağımsız mı?
Başta şöyle diyebilirsiniz,
bakalım, bu diğerinin skaler çarpanı değil,
öbürü de diğer ikisini skaler çarpanına benzemiyor,
-
Belki doğrusal bağımsızlardır.
Ama biraz incelediğinizde görebilirsiniz ki v,
eğer buna v1 dersek, vektör 1, artı vektör 2, eğer bu da vektör 2 ise,
vektör 3'e eşit.
Demek ki vektör 3, diğer iki vektörün doğrusal kombinasyonu.
-
O yüzden bu doğrusal bağımlı bir set.
Bunu göstermek için iki boyutlu uzayda çizersek,
bakalım,
R2'de çizelim.
Üç tane 2 boyutlu vektörünüz varsa,
birine ihtiyacınız olmayacağı gibi genel bir fikir var.
Bir tanesi kesinlikle lüzumsuz olacak.
Örneğin, 2ye 3 vektörünü çizelim.
Şu ilk yazdığım oluyor.
Standart konumda çiziyorum.
Buraya da 7ye 2 vektörünü çiziyorum.
Size anlatmak istediğim, R2'deki herhangi bir noktanın, bu iki vektörün doğrusal kombinasyonuyla gösterilebileceğidir.
-
Bir çeşit grafik gösterim bile yapabiliriz.
Bir önceki videoda yapmıştım, öyleyse diyebilirm ki,
v1 ve v2'nin açıklığı, R2'ye denktir.
Bu demektir ki, v1 ve v2'nin doğrusal kombinasyonlarıyla,
buradaki tüm vektörler, tüm konumlar gösterilebilir.
Şimdi, 9a 5 vektörü R2'de.
R2'de değil mi?
Belli ki evet.
Az önce vektörü bu düzleme çizdim.
Vektör, bir 2 boyutlu gerçek sayı uzayında.
Sanırım bir uzayda olduğunu söyleyebiliriz, veya... Veya R2 setinde olduğunu.
Orada.
Tam orada.
Demin dediğim gibi, R2'deki herhangi bir şey,
bu iki vektörün doğrusal kombinasyonuyla gösterilebilir.
O zaman, bu vektör R2'de olduğuna göre,
bir doğrusal kombinasyon olarak gösterilebilir.
Umarım,
açıklık ve doğrusal bağımsızlık veya doğrusal bağımlılık arasındaki ilişkiyi anlamaya başladınız.
-
Başka bir örnek göstereyim.
Diyelim ki şu vektörler-- yeni bir renge geçeyim.
Diyelim ki elimde -bu sefer durum biraz bariz olacak-
7ye 0 vektörü, yani v1
ve ikinci vektör, 0a -1 var.
Bu da v2.
Öyleyse, bu küme doğrusal bağımsız mıdır?
Bu küme doğrusal bağımsız mıdır?
Bunlardan herhangi birini diğerinin kombinasyonu olarak yazabilir miyim?
-
Aslında kombinasyon dediğimde,
birini büyütmek zorunda kalırsınız, çünkü sadece iki vektörümüz var.
-
Bu vektöre ulaşmaya çalışıyorsam,
tek yapabileceğim şunu büyütmek.
-
Aslında yapabileceğim hiçbir şey yok.
Bu vektörü hangi sabitle çarparsam çarpayım,
ve kendisine ekleyeyim veya büyüteyim,
bu terim her zaman 0 kalacak.
Her zaman 0.
Bu yüzden bununla çarptığım hiçbir şey,
bu vektöre ulaşmamı sağlamayacak.
Aynı şekilde, bu vektörü ne ile çarparsam çarpayım,
yukarıdaki terim her zaman 0 kalacak.
Yani bu vektöre ulaşmamın hiçbir yolu yok.
Öyleyse
iki vektörün de diğerinin kombinasyonu olarak gösterilme şansı yok.
Demek ki bu ikisi doğrusal bağımsız vektörler.
Bunu çizince bile anlayabilirsiniz.
Bir tanesi 7ye 0, yani şöyle.
Sarı olmayan bir renk kullanayım.
-
7ye 0.
Ve diğeri 0a -1.
Ve sanırım herhangi iksinin doğrusal kombinasyonunu alırsanız,
R2'deki herhangi bir şeyi gösterebileceğinizi anladınız.
-
Açıklık kavramına alışmanız için söylüyorum,
bunların açıklığı, R2'ye denk.
Başka ilginç bir noktaysa şu:
v1 ve v2'nin açıklığı R2'ye denk demiştim.
Peki yukarıdaki bu örnekte, v1, v2 ve v3'ün açıklığı nedir?
-
Önceden belirtmiştim,
Önceden gösterdiğim gibi,
bu üçüncü vektör, şu ikisinin doğrusal kombinasyonu olarak gösterilebilir.
Aslında sadece şu ikisinin toplamı.
Hatta buraya çizebilirim.
O iki vektörün toplamı.
Öyleyse kesinlikle diğer ikisinin doğrusal kombinasyonu olarak gösterilebilir.
-
Peki açıklığı nedir?
Aslında, bunun lüzumsuz olması,
açıklığını değiştirmediğini gösterir.
Tüm olası kombinasyonları değiştirmez.
Bu yüzden onun açıklığı da R2dir.
Bu sadece R2'yi kapsamak için gerekene ek bir vektördür.
-
R2 iki boyutlu bir uzay ve sizin iki vektöre ihtiyacınız vardı.
Yani bu bir nevi taban oluşturmanın daha verimli bir yoluydu.
Ve tabanı daha anlatmamış olsam da,
konuşma içerisinde kullanmak istiyorum.
Daha sonra, anlattığımda çok daha mantıklı gelecek.
Bu daha iyi taban oluşturur, veya bu taban oluşturur.
Bir nevi gereksiz olmayan vektörler kümesinin R2'yi göstermesidir.
Buradaki vektör ise, gereksizdir.
Bu yüden R2 için uygun bir taban değildir.
3 boyutta başka bir örnek vereyim.
Bir sonraki videodaysa,
doğrusal bağımlılık veya bağımsızlık hakkında daha resmi tanımlamalar yaparım.
Diyelim ki elimde 2, 0, 0 vektörü var
Yukarıda söylediğime benzer bir argüman sunayım:
2, 0, 0 vektörü, 0, 1, 0 vektörü ve 0, 0, 7 vektörü.
-
Şimdi R3'teyiz, değil mi?
Bunların her biri 3 boyutlu bir vektör.
Peki, bunlar doğrusal bağımsız mı bağımlı mı?
-
-
Bu ikisinin kombinasyonuyla üçüncü vektöre ulaşmam için,
0 olmayan bir terim elde etmemi sağlayacak herhangi bir yol yok,
değil mi?
Çünkü bunu ne ile çarparsam çarpayım,
son terim hep sıfır kalacak.
Yani bu bir nevi vektörler kümemize yeni bir yön eklemek oluyor.
-
Aynı şekilde,
bu ve bu vektörün hiçbir kombinasyonu yok ki,
burada 0 olmayan bir terime ulaşayım.
Ve son olarak, bu ve bu vektörün hiçbir kombinasyonu yok ki,
burada 0 olmayan bir sayı elde edeyim.
Demek ki bu küme doğrusal bağımsız.
-
Ve eğer bunu 3 boyutta çizecek olsaydınız,
görürdünüz ki,
bunlardan hiçbiri aynı düzlemde değil.
Belli ki bunlardan herhangi ikisi aynı düzlemde,
ancak gerçekten çizecek olsaydınız, 2ye 0a ulaşırdınız.
Şuna x-ekseni diyelim.
Şu 2, 0, 0.
Sonra 0, 1, 0 var.
Belki o y-ekseni.
Bir de 0, 0, 7 var.
Şöyle bir görüntü oluşuyor.
Öyle güzuküyor ki,
sanki eksenler i, j ve k vektörleri.
Sadece biraz büytülmüşleri.
Ama onlar her zaman küçültülebilir,
değil mi?
Çünkü bizim önemsediğimiz bunların herhangi bir doğrusal kombinasyonu.
O zaman bu üç vektörün açıklığı R3,
çünkü hepsi yeni bir yön katıyor.
-
Herneyse, bu videoyu burada bitiririm diye düşünmüştüm.
Videolarımın gittikçe uzadığının farkındayım.
Daha kısalarını yapma alışkanlığıma dönmek istiyorum.
Bir sonraki videoda,
doğrusal bağımsızlığın daha iyi tanımlamasını yapacağım,
ve birçok örnek çözeceğiz.
-