Tip:
Highlight text to annotate it
X
.
Doğrunun eğimiyle ilgili birkaç problem çözelim.
.
Bunlara doğru orantı modelleri dendiğini de görebilirsiniz,
çünkü problemde verilenleri grafik üzerinde göstereceğiz.
.
İlk önce çizeceğiz ve bu çizeceğimiz doğru, umarım sorunun cevabını bize verecektir.
.
Şimdi ne sorulduğuna bakalım.
Elimizdeki standart bir musluk dakikada 2.5 litre su akıyor.
.
Şimdi bu musluğu kullanarak 30 galonluk bir küveti ne kadar sürede doldurabileceğimizi hesaplıyoruz.
.
.
Burada ilk yapacağımız şey, doğru orantılı bir grafik çizmek.
.
Kaç galon dolduracağımızı veya
.belli bir süreden sonra kaç galon su kullanmamız gerektiğini bir denklem şeklinde yazıyoruz
.
Elimizdeki galonun, içine doldurduğumuz suyun oranına eşit olduğunu düşünelim.
.
Yani, dakikada 2.5 galon çarpı dakika miktarı.
.
.
Dakika için d, galonlar için de gyazacağım.
Doğru orantı modelimizi oluşturuyoruz.
.
Şimdi bir denklemimiz var, dakikanın miktarını 2.5 ile çarpıyoruz.
.
Çünkü bu oluşturduğumuz denklem küveti ne kadar sürede doldurduğumuzu gösteriyor.
Bir dakika sonra, 1 çarpı 2.5, 2.5 galon suyumuz oldu.
İki dakika sonra ise, 2 çarpı 2.5, 5 litre su doldu.
Bu,soruyu çözmek için oluşturduğumuz grafik.
Ayrıca bunun bir çizgi olduğunu görüyoruz.
Doğrunun formülüne bakarsak, y eşittir mx artı b.
Ama burada b yerine yazacağımız bir sayı yok.
-
Sadece m çarpı x yazacağız.
Buradaki x'e dakika diyoruz ve y ise galonları temsil ediyor.
Bu durumda eğimimiz de 2.5 oluyor.
Sorunun cevabını vermeden önce yerlerine yerleştirelim.
x-ekseni demek yerine; x. bağımsız değişken olduğundan musluğun kaç dakika açık kaldığını yazıyoruz.
.
.
Dakika için d'yi kullandığımızdan, d-ekseni diyoruz.
Dikey eksene ise, y-ekseni yerine, g-ekseni diyeceğim.
Çünkü galon miktarı için g harfini kullanıyoruz.
.
Bu grafikte sadece pozitif tarafla ilgileniyoruz çünkü dakika sadece pozitif olabilir.
.
Evet, şimdi ne yapıyoruz?
2.5'luk bir eğimimiz var.
Aslında bunu dakika başına 5/2 galon çarpı geçen dakika olarak da yazabiliriz.
.
Eğimimizin 5/2 olduğunu biliyoruz.
2.5'u 5/2 şeklinde yazdık.
y-kesişim noktasının 0 olduğunu biliyoruz.
-
Ama artı 0 olarak da yazabiliriz.
Orijinden başlayarak çiziyoruz.
Bu bizim y-kesişim noktamız.
Sağa doğru her 2 birimde, 5 birim yukarı çıkıyoruz.
Yani x eksenindeki değişim 2.
1, 2, 3, 4, 5.
x eksenindeki değişim 2 birim.
1, 2, 3, 4, 5.
Eğer x ekseninde eksi 2 birim değişim olursa, y ekseninde eksi 5 olur.
.
-
1, 2, 3, 4, 5.
Diğerleri de aynı şekilde.
-
Doğrumuzu çizmek gerekirse, sanırım buna benzer bir şey olacak.
-
Daha önce de dediğim gibi sadece birinci çeyreği sayıyoruz.
.
Diğer çeyrekle işimiz olmayacak, burayı silsek de olur.
Çünkü dakika, negatif olamaz.
.
Sadece bu doğrunun yukarı tarafıyla ilgileniyoruz.
Şimdi de, 30 galonluk bir küvetin kaç dakikada doldurulabileceği soruluyor.
.
Ne yazık ki, çizdiğimiz doğru 30'a kadar çıkmıyor.
.
burası 10 galona denk geliyor.
Eğer 3 kere bunun kadar yukarı çıkarsak,
30 galona karşılık gelen değeri tahmin edebiliriz.
Aslında bu problemi cebirsel olarak da çözebiliriz
Kaç dakika alıyor?
Evet, ilk olarak galon miktarını 30'a eşitleyelim.
Öyleyse 30 galon eşittir, dakika başına 2.5 galon çarpı dakika miktarı.
.
.
Burada yapmamız gereken şey, denklemin iki tarafını da dakika başına 2.5 galona bölmek olacak
.
İki tarafı da bölelim.
Tüm bu birimleri şimdi sadeleştirebiliriz.
.
Yani bunlar birbirini götürür ve 1 kalır.
-
Sol taraf da 30 bölü 2.5'a eşit.
.
Payda toplam galon miktarı yazıyor.
Birimleri de aynı uğraştığımız gerçek sayılar gibi kullanabiliriz.
.
Paydaya dakika başına galonu yazarsak ve bu kesre bölersek,
yaptığımız şey kesrin tersiyle çarpmakla aynı anlama gelecektir.
.
Galon başına düşen dakika miktarıyla çarpmakla aynı işlem.
.
-
Bunlar kesrin paydasındaydı.
Bunları paya koyduğumuz zaman, ters çevirmiş olacağız.
Yani hem paydadaki hem paydaki galon sadeleşecek.
-
Elimizde 30 bölü 2.5 dakika kaldı.
Bu işlemi yaptığımızda da sonuç 12 olur.
-
Yani 30 galonluk küveti doldurmak 12 dakika sürüyormuş.
-
12 dakika.
Şimdi bir örnek daha yapalım.
Cenk, yeni havuzunu ilk kez doldurmak için bir su hortum kullanıyor.
.
.
.
Hortumu akşam saat 10'da açıyor.
Bu başlangıç noktası ve hortum tüm gece açık kalıyor.
-
Sabah saat 6'da, havuzun derinliğini ölçüyor ve 4/7'sinin dolu olduğunu görüyor.
.
Yani saat akşam 10'da başladığında havuz bomboştu.
.
-
Çünkü bu yeni bir yüzme havuzu.
Bize verilen bilgiler bunlar
Havuzu tamamen boştu.
.
Yani hiç su yok.
Cenk, sabahın 6'sında, havuzun derinliğini ölçmüştü ve 4/7'sinin dolduğunu görmüştü.
.
4/7'yi buraya yazıyoruz.
Peki kaç saat sonra havuz tamamen dolar?
Yani ne zaman doluluğun 7/7 olacağını öğrenmek istiyoruz.
-
-
Saat kaçta?
Geçen örnekte de yaptığımız gibi basit bir model hazırlamamız gerek.
.
Diyebiliriz ki, havuzun doluluğu bir sabit sayıyla, geçen süre miktarının çarpımına eşit.
.
Havuz boşken, saatin kaç olduğunu biliyoruz.
Bu zamanı gösteriyor.
Buraya yazalım.
-
Zaman 0'a eşitken.
Akşam 10'la sabah 6 arasında 8 saat var.
Yani 8 saat sonra.
Bunun da ne olduğunu bilmiyoruz.
Bu da herhangi bir zaman.
Saat 10'da 0'a eşitken, 0 çarpı k, doluluğu 0'a eşit olur.
Yani tamamen boş.
Zaman 8'e eşitken, k'yla 8'i çarpıyoruz. k belli bir sürede doldurduğumuz suyun oranına eşit.
.
k çarpı 8.
Eşittir 4/7 doluluk oranı.
Şimdi k'nın ne olduğunu bulabiliriz.
Yani doğru orantı modelimiz için katsayının ne olduğunu bulabiliriz.
.
İlk önce şuna bakalım.
Bu denklem, havuz doldurma işlemleri için kullanılabilir.
.
Havuzun doluluğunun miktarı, hortumun çalıştırıldığı süre ile doğru orantılı.
.
Bu, orantı sabiti.
Ne kadar çabuk dolduğunu bilmiyoruz, ama grafikten bunu çıkarabiliriz.
.
Çünkü biliyoruz ki 8 saatte havuzun 4/7'si doluyor.
k'yı bulmak için, iki tarafı da 8 saate bölmeliyiz.
k eşittir 4/7 bölü 8 saat.
Bunu 4/7 çarpı 1/8 şeklinde de yazabiliriz.
Şimdi hesaplayalım.
Payı ve paydayı 4'e bölersek.
-
k sabiti 1/14 çıkar.
.
Veya saat başına havuzun 1/14 dolduğunu söyleyebiliriz.
Yani, k eşittir 1/14.
-
Havuzun dolma oranı, 1/14 çarpı süreye eşittir
Cevaplamamız gereken soru ise bunun ne zaman 1 olacağı?
.
Saat kaçta tamamen dolacak?
Denklemi kuralım.
-
1, havuzun tamamen dolu olduğu anlamına geliyor.
Bu da, 1/14 çarpı süreye eşittir .
Bu denklemin iki tarafını da 14 ile çarparsak,
1/14 ile 14 sadeleşir.
Sonuç olarak zaman 14'e eşit olur.
Demek ki havuzun tamamı 14 saatte doluyor.
Bildiğiniz gibi her şey saat cinsinde.
Eğer akşam saat 10'da başlıyorsak, 14 saat sonra saat kaç olacak?
.
Akşam 10'dan bir sonraki sabah 10'a kadar toplamda 12 saat var.
.
Şöyle hesaplıyooruz.
14 saate ulaşmamız için 2 saat daha ilerletmemiz gerekiyor.
Bu da bir sonraki günün öğle saatlerine denk geliyor
Yani havuzun dolması için öğlene kadar suyun açık kalması gerekiyor.
.
Bunu grafikte gösterebiliriz.
-
Şimdi söylediğim her şeyi çizelim.
Buraya yazdığım denklemde, dolma oranı eşittir 1/14 çarpı zaman.
.
Grafikteki her bir birimi ikişer ikişer sayalım.
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14.
Şunu söyleyebiliriz ki, x ekseninde 14 birim ilerlediğimizde, 1 birim yükseliyoruz.
Yani x'deki değişim 14 ise, y'deki değişim de artı 1'dir.
Burada birer birer yazacağım.
-
Grafiği olması gerekenden biraz saptırdık ama burası 1.
Yani doğru, buna benzeyecek.
-
Eğiminin de 1/14 olduğunu görüyoruz.
Umarım bunun size biraz yararı olmuştur.
.