Tip:
Highlight text to annotate it
X
Minimum ve maksimum bulma hakkında öğrendiklerimizi şimdi, optimizasyon soruları çözmede kullanalım.
Optimizasyon sorusunun ne olduğunu merak ediyor, olabilirsiniz.
Şimdi birazdan yapacağımız sorulara bakarsanız, optimizasyon sorusunun
ne olduğunu çok iyi anlayacaksınız.
İlk sorumuz, çarpımı eksi 16 olan iki sayı bulmakla ilgili.
Çarpım, eksi 16'ya eşit. Ve, soruda
karelerinin toplamı minimum olacak, diyor.
Karelerinin toplamı minimum.
Evet, henüz daha anlamadıysanız söyleyeyim:
Optimizasyon sorularında bazı kısıtlamalara uyan
hangi sayıların maksimum
veya minimum değer verdiği sorulur.
Önce bu soruyu çözelim, sonra birkaç soru daha yaparız.
çarpımları eksi 16 ve karelerinin toplamı
minimum olan iki sayı bulunuz.
Bu sayılara şimdi x ve y diyelim. Çarpımları
eksi 16. Yani, x çarpı y
eşittir eksi 16.
Şimdi karelerinin toplamı nedir?
karelerinin toplamını da, s olarak adlandıralım.
Karelerinin toplamı eşittir, x kare artı y kare.
Optimum değerini bulmak istediğim fonksiyon, bu.
Bu soruda, minimum değerini bulmak istiyoruz. Peki, bu soruyu nasıl çözüyoruz?
Bu fonksiyonun minimum değerini alacağız, ama şu anda daha
iki değişkenli bir fonksiyon
ve çok değişkenli analiz daha öğrenmedik henüz öğrenmedik.
Eğer fonksiyonu bir değişkene indirgeyebilirsek, o değişkene göre optimumunu bulabiliriz.
Ve de o değeri tekrar yerine koyabiliriz, falan filan.
Kareler toplamını, bir değişkenli fonksiyon olarak
peki nasıl yazarım?
Şimdi, bu denklemi kullanacağız. Fonksiyonda x veya y yerine
koyabiliriz. y'nin yerine koyalım.
. Bu denklemin iki tarafını x'e bölelim.
y eşittir eksi 16, bölü x.
İki tarafı x'e böldüm.
Bunu şuraya koyarsak, iki sayının karelerinin toplamı, x kare artı y kare idi değil mi?
y şimdi buna eşit
o zaman bunun karesi ne olur? Eksi 16
kare eşittir 256 bölü x kare.
O zaman, iki sayılarının karelerinin toplamı, şöyle olacak. Minimum ve maksimum bulmayı nasıl yapıyorduk?
Fonksiyonun yerel maksimum veya minimum noktasında, türev 0 oluyordu.
Bunun türevini alalım ve 0'a eşitleyelim.
Umarım, bir minimum nokta buluruz. Sonra, minimum olduğunu gösteririz. Bunun x'e göre türevini alalım.
s üssü yazıyorum. d s d x de yazabilirdim.
s üssü eşittir, 2 x
artı bu, 256 çarpı
x üzeri eksi 2'yle aynı şey.
O zaman, türevi ne olacak? 256 çarpı üzeri yani eksi 2
ve üssü 1 eksiltiriz. x üzeri eksi 3.
Yani, türev eşittir, 2 x eksi, 512 çarpı x üzeri eksi 3.
Yerel veya mutlak bir minimum veya maksimum bulmak istiyoruz.
Yani, türevin 0'a eşit olduğu yeri bulmak istiyoruz.
Eğim bu. Bunu 0'a eşitleyelim.
2 x eksi 512 x
üzeri eksi 3 eşittir
0. Şimdi bu denklemi çözmeye çalışalım.
İki tarafa, 512 x üzeri
eksi 3 ekleyelim. 2 x eşittir, 512
x üzeri eksi 3 çıktı. Şimdi
bundan kurtulmak için, iki tarafı
x küple çarpalım.
İki tarafı x küple çarparsak, 2 x üzeri 4
eşittir 512, çıkar.
Çünkü,x küp çarpı x üzeri eksi 3 eşittir 1.
İki tarafı 2'ye bölelim. x üzeri 4
eşittir 256.
Evet, daha cevabı görmediyseniz, 256'nın
dördüncü dereceden kökünü alacağız değil mi? Önce
256'nın karekökünü bulabiliriz.
16 değil mi? Peki, 16'nın karekökü nedir?
Artı, eksi karekök 16. x eşittir artı, eksi 4.
Artı veya eksi 4'ün dördüncü kuvvetini aldığımızda, 256 çıkıyormuş evet, değil mi?
x, artı veya eksi 4 ise, peki y nedir?
y eşittir eksi 16 bölü x.
x 4 ise, y nedir? Eksi 16 bölü 4, y eşittir eksi 4.
x eksi 4 ise, y eşittir eksi 16
bölü eksi 4. Yani
y eşittir 4'müş. Hangi değeri
alırsak alalım, farketmez. Sayılar, 4 ve eksi 4.
Hangisine x, hangisine y dediğimiz farketmez.
Bu iki sayı 4 ve eksi 4'müş. Soruyu bitirdik. Yok, bitirmemişiz.
Bir minimum veya maksimum nokta bulmuş olduk.
Tek noktada eğim 0 olduğuna göre, büyük ihtimalle soruyu çözmüş olduk
Yine de, 4'ün gerçekten minimum olduğunu bir ispatlayalım.
Peki, bunu nasıl yapacağız?
Fonksiyonun ikinci türevini alıp, x eşittir 4'teki
ikinci türev değerinden çukurluğun yönünü bulabiliriz.
Bu, birinci türev. İkinci türev nedir?
s'nin ikinci türevi eşittir 2 artı
3 çarpı 512, bu nedir?
Peki bu nedir ? 1536.
Evet, artı 1536 çarpı
x üzeri eksi 4.
Aslında s x yazmam gerektiğini biliyorum. Notasyon konusunda
biraz üşengeçlik yaptım. Bunların hepsi x cinsinden, değil mi?
x 4'e eşitse, s'nin ikinci türevi nedir?
2 artı 1536
4'ün eksi dördüncü kuvveti nedir?
1 bölü 256 dır değil mi? Aslında, bu değeri
bulmamıza gerek yok.
Sadece pozitif veya negatif olmasıyla ilgileniyoruz.
Pozitif olduğu belli. Pozitif sayı artı
pozitif sayı bölü pozitif sayı yani sonuç, pozitif.
Buna göre, hangi sonuca varabiliriz?
x eşittir 4 için, kare toplamı fonksiyonunun
yukarı doğru çukur olduğunu biliyoruz. Bunun nedeni
4'teki ikinci türevin pozitif olması.
Yukarı doğru çukurluk nasıl çiziliyordu? Böyle çizilir.
O zaman, x eşittir 4 şurada ve minimum nokta oluyor. Yani, karelerin toplamının minimum olduğunu biliyoruz.
Eğer şimdi bir şey atlamadığımızdan veya bir hata yapmadığınızdan emin olmak istiyorsanız , çarpımları eksi 16 olan sayılar düşünün.
Ve, o sayıların karelerini toplayın.
Karelerinin toplamlarının, eksi 4 kare artı 4 kareden büyük olacağını garanti edebilirim değil mi?
Peki s
4 nedir?
4 ve eksi 4'ün karelerinin toplamı nedir
4 kare eşittir 16, artı 16, eşittir 32. Toplam bu.
Şimdi başka sayılar deneyelim. Mesela 1'in karesiyle eksi 16'nın karesinin toplamı nedir?
Bu ikisinin çarpımı 16.
Bu toplam kaça eşit?
257. Ve çok daha büyük bir sayı. Eksi 8 ile 2'yi de deneyebiliriz, veya eksi 2 ve 8. Bulduğunuz tüm toplamlar, eksi 4 ve 4'ün toplamından büyük olacak. Neyse.
Aslında bu videoda yine birden çok problem çözmeyi düşünüyordum, ama yine çok uzattık o yüzden bu videoyu şimdi bitireceğim ve diğer soruları başka videolarda çözeriz. Hoşçakalın.